关键词:
物质点法
软材料
大变形
相场断裂模型
体积自锁
摘要:
软材料是一类在外界较小刺激下可以发生很大变形的非线性弹性材料或物质,它包括人体或动物的组织器官、植物的叶片果实,以及诸如橡胶、水凝胶等一些高分子聚合物。软材料广泛存在于自然界中并由于其优良的变形能力在工程领域中发挥重要作用。软材料的大变形过程会涉及到一系列复杂的力学现象和问题,例如生物软材料的生长导致的弹性变形以及高分子材料的断裂破坏等。对软材料大变形生长和断裂等力学行为的研究有助于预测生物器官、仿生器件的结构和形态变化,为生物和人体健康的研究提供依据,为功能器件的结构设计和安全性评估提供参考,在医学、生物以及其他工程领域具有重要意义。
物质点法作为一种粒子类数值方法,在极大变形、断裂破坏等强非线性问题的模拟方面具有一定优势,并且在诸如冲击侵彻、爆炸毁伤等诸多极端力学问题的模拟中取得了很好的效果。据此,本文基于物质点法和软材料大变形的相关理论对软材料的生长、动力、断裂破坏行为模拟分析的数值算法开展研究。具体内容包括以下四个部分:
第一,针对软材料的大变形生长问题,提出了隐式位移-压强完全拉格朗日物质点法。考虑到很多软材料具有不可压缩性,该方法引入了压强场处理了不可压材料模拟中的体积自锁现象并采用完全拉格朗日格式消除了传统物质点法中的跨网格误差。基于有限生长理论,通过变形梯度的乘法分解引入中间构型并推导了各个构型下的应力-应变关系,之后参考中间构型推导了弱形式的动量方程。为了避免体积自锁现象,引入了关于压强的约束方程并对考虑生长效应的软材料应变能密度进行体积/偏量分解,从而将弱形式动量方程线性化。之后将线性化后的动量方程和压强约束方程同时作为控制方程,并对位移和压强采用不同阶次的B样条基函数作为插值函数,在完全拉格朗日物质点法的框架下构造了位移-压强混合格式的离散方程。采用Newton-Raphson迭代方法进行数值求解,从而建立了不可压软材料生长问题的隐式完全拉格朗日物质点法求解格式,并通过自由生长、约束生长、应变驱动生长等一系列数值算例验证了所提出方法的准确性以及适用性。
第二,针对软材料的大变形动力问题,发展了显式位移-压强完全拉格朗日物质点法。考虑到软材料的弱可压缩性,将应变能函数进行体积/偏量分解,并引入摄动拉格朗日方法对势能泛函进行修正。将位移和压强作为基本变量采用变分法在有限变形框架下推导出系统的控制方程,之后采用完全拉格朗日物质点法离散弱形式控制方程并对位移和压强采用不同阶次的插值函数以满足Ladyzhenskaya-Babu(?)ka-Brezzi(LBB)条件,使用显式时间积分得到离散形式的控制方程。此外,为了更准确地求解物质点的压强,发展了一种体积变形重映射方法以保证插值阶次的相互协调。对于显式方法采用交错求解格式在一个时间步内依次求解位移场和压强场,得到近似不可压软材料大变形动力问题的完全拉格朗日物质点法求解格式。通过数值算例验证了算法满足能量守恒、动量守恒以及角动量守恒,并证明了所提出方法在有限变形下模拟近似不可压材料动力问题的准确性和收敛性,可以在只增加少量计算量的前提下有效处理大变形动力学问题模拟中的体积自锁。
第三,针对可压缩软材料的大变形断裂和冲击破坏问题,提出了显式相场-完全拉格朗日物质点法。该方法将尖锐裂纹通过引入一个考虑耗散的断裂相场模型进行弥散,并考虑拉伸和压缩对材料断裂的贡献不同将超弹性材料的应变能密度进行拉压分解,从而得到了断裂能的相场表达式以及驱动相场演化的有效应变能。对于一个考虑断裂的软材料大变形动力问题,基于变分法在有限变形下推导出系统的位移场和相场控制方程并分别在完全拉格朗日物质点法框架下进行离散。此外,为了模拟软材料冲击断裂过程中出现的各种接触情形,发展了一套基于物质点的接触算法用于统一处理接触和自接触问题。针对该耦合问题采用了交错求解格式对位移场和相场依次求解,从而建立了软材料准静态断裂、冲击破坏、裂纹扩展问题的通用求解格式。通过对硬币状预裂纹拉伸、Kalthoff板冲击、圆环碰撞问题的数值模拟证明了所提出方法处理断裂、接触以及冲击破坏问题的准确性。此外,还模拟了超弹性材料失稳断裂、金属球冲击软膜两个算例展现了方法的适用性。
最后,针对近似不可压软材料的准静态和动态断裂破坏问题,提出了位移-压强-相场三场混合完全拉格朗日物质点法。考虑到断裂破坏对材料不可压缩性的影响,将摄动拉格朗日泛函基于相场进行修正,并同时给出驱动近似不可压材料相场演化的有效应变能,从而得到近似不可压材料断裂破坏问题的总能量泛函。采用变分法将位移、压强和相场同时作为基本变量推导出系统的控制方程,并对三个场的控制方程分别进行完全拉格朗日物质点法离散。考虑到三个场变量相互影响的程度,在完全拉格朗日物质点法框架下发展了针对位移场、压强场、相场的交错求解格式,从而得到三场混合格式的具体求解流程。采用所