关键词:
离散动力系统
分支与混沌
Marotto定理
分数阶微分方程
参数估计
摘要:
混沌(chaos)与分支(bifurcation)现象是非线性动力系统的复杂动力学的主要表现形式之一.目前,在离散系统、连续系统(常微分系统、分数阶微分系统、偏微分系统等)中都可能存在混沌与分支现象.至今混沌尚无统一的严格数学定义,常用的几种混沌定义有Li-Yorke混沌、Devaney混沌、Wiggins混沌等.但混沌具有一些明显特征,如确定性、有界性、初值敏感依赖性、遍历性、正的最大Lyapunov指数等.然而,要严格证明一个具体的系统是否存在混沌、分支及混沌系统的参数估计等都是具有相当难度的问题.
在混沌与分支的研究中,离散或连续的Logistic模型占有重要地位.本文基于Logistic模型研究了几类高维离散系统与分数阶系统的动力学性质及其参数估计.当一维离散Logistic映射推广到二维离散捕食与被捕食系统,获得了此系统的分支的严格数学证明及由Neimark-Sacker分支所产生的不变环的近似表达式;当离散的Logistic映射进行扩散耦合时可得更高维的扩散耦合映象格子系统,在开放边界条件下,利用Marotto理论严格证明了这类系统的混沌存在性.同时,当连续Logistic方程改进并推广至分数阶情形时,利用同伦分析法与优化同伦分析法得到具有Allee效应的分数阶Logistic方程的近似解析解.并且理论上证明了一类分数阶广义Logistic方程的解的存在唯一性.最后,利用粒子群优化算法首次对分数阶混沌系统的参数估计问题进行了有效的研究.
全文由五章构成,其主要内容如下.
第一章主要概述了本文研究的背景、意义及所做的主要工作.简单地回顾了混沌与分支的发展历史,介绍了离散系统的局部分支理论、混沌定义与混沌的常用度量方法,简要叙述了混沌同步与控制的相关知识及分数阶微积分的基本概念与性质、分数阶微分方程的预估-校正数值解法.
第二章主要对一类由单种群的一维离散Logistic系统推广至两种群的二维离散捕食与被捕食生物系统的分支进行研究.详细分析了此系统的不动点的局部稳定性,利用中心流形定理与分支理论,严格证明了Flip分支、Neimark-Sacker分支,并首次给出此系统由Neimark-Sacker分支所产生的不变环的近似表达式.数值分析表明倍周期分支是通向混沌的重要途径以及混沌中存在周期窗口现象.进一步,利用混合控制方法,对此二维离散系统的Flip分支与Neimark-Sacker分支进行精确地控制,使得其提前发生或延后发生,所得数值模拟结果与理论分析完全一致.
第三章考虑具有开放边界条件且局部函数为离散Logistic映射的扩散耦合映象格子系统的复杂动力学.基于Marotto定理,严格证明了此类高维离散扩散耦合映象格子系统的Li-Yorke混沌的存在性,并给出其混沌相图与分支现象的数值模拟,同时,采用0-1混沌检测的方法分析了此高维系统的混沌现象,这些都很好地验证了Li-Yorke混沌的理论分析.最后,利用延迟反馈控制方法控制其混沌到不动点状态.
第四章研究了具有Allee效应的分数阶Logistic方程与分数阶广义Logistic方程.分别利用同伦分析法与优化同伦分析法,获得了具有Allee效应的分数阶Logistic方程的近似解析解,并给出级数解的收敛性证明,所得近似解析解与预估校–正算法所得数值解的结果能较好吻合.同时,利用Banach不动点定理,严格证明了一类分数阶广义Logistic方程–Das模型的解的存在唯一性,并分析了其不动点的稳定性,所得数值解与理论分析所得稳定性结果一致.
第五章研究了分数阶混沌系统的参数估计问题,将系统的参数(或阶数)估计转化为最优化问题,利用粒子群优化算法对参数进行估计,避免了运用混沌同步进行参数估计中的参数自适应更新律的设计这个难点问题.利用所得参数估计结果,对存在未知参数情形下,异结构的同阶或不同阶的分数阶混沌系统的同步进行研究.同时,分析了一个新的具有四卷吸引子的三维分数阶混沌系统的不动点稳定性、相图、混沌吸引子、解的存在唯一性等基本动力学性质.