关键词：
初始参数化
双射
牛顿投影法
自适应修正
非线性降维
可展逼近
摘要：
在计算机图形学与数字几何处理领域,离散几何模型是最常见的处理对象,因此其中诸多复杂问题本质上是求解满足需求的离散几何映射问题。例如,网格初始参数化可视为曲面到参数域的双射计算,体网格变形可抽象为能量驱动下的几何空间映射优化,而可展曲面逼近则需在保证可展性质的同时建立原始曲面与可展目标间尽可能小的误差映射关系。然而,现有方法面临着诸多挑战。有理论保证双射的Tutte参数化因浮点精度限制,难以兼容精确算术,使得双射在数值实验中无法实现;体网格变形优化中非凸能量函数的非正定海森矩阵容易使得牛顿方法收敛困难;可展映射中可展性与逼近误差缺乏有效平衡策略。本文围绕如何鲁棒地构造双射初始参数化、高效地进行体网格变形和生成小误差可展逼近映射这三个问题分别提出了创新性解决方法。
本文第一个工作提出了一种鲁棒地将拓扑于圆盘的三角网格参数化到凸多边形域的构造方法。将三角网格参数化到平面广泛应用在计算机图形学中。参数化的目标是保持全局或局部单射的同时确保低扭曲。这通常从一个全局单射(即双射)的初始化出发。目前理论上保证全局单射的初始化方法是Tutte嵌入及其变体,但其依赖有限精度求解线性方程组,并且对大规模网格计算极其耗时。尽管目前有基于构造的方法兼容所有数值精度,但会强制改变三角网格的连接关系。为了解决上述问题,本文提出一种覆盖Tutte嵌入的适用范围,兼容所有数值精度(包含精确算术),并从理论上保证全局单射的构造方法。该方法将三角网格和具有固定边界的凸多边形域递归分解为子三角网格和子凸多边形域,并逐对进行处理,对该过程持续迭代直到每个子网格仅包含单个不可再分的三角面片。分解的关键是对每个凸多边形域中的两个边界点在三角网格中对应的两个顶点之间找到一条内部路径,然后进行双射插值。本文通过构造性证明保证了理论上的完备性,同时用户可以灵活设计不同的凸域划分策略和权重插值策略。本文提供了邻近角点划分策略,使用1-环邻域缩短操作寻找可行路径,同时结合均匀权重插值策略,在数据集上的实验表明,同等精度下,本文的方法计算时间更少。本文还提供了面积自适应权重插值策略,虽然计算时间有所增加,但是网格的映射质量提高了1-2个数量级。
本文第二个工作提出了一种高效地求解基于四面体网格变形的超弹性能量的方法。当从高初始能量状态开始优化能量函数时,传统牛顿类方法往往因海森矩阵的非正定性和数值不稳定等问题而使收敛速度受限。针对这个问题,本文提出一种新的自适应修正海森矩阵特征值的投影牛顿方法。本文的核心思想是通过一个关键性观察和目标函数下降约束推导出混合系数,混合钳位特征值和绝对值特征值。关键性观察为若全局海森矩阵定义的二次型将下降方向映射为负值,则目标函数的下降幅度将会受到限制。因此本文希望修正后的海森矩阵定义的二次型能将下降方向映射为正值。同时,本文希望在二阶泰勒展开框架下,推导出的混合系数能够确保本文方法相较绝对值特征值投影法能获得更大幅度的目标函数下降。根据上述的关键观察和目标函数下降约束,本文分别推导出第一条件和第二条件,从而确定混合系数。具体实现中,本文对四面体网格每个单元的海森矩阵求解混合系数,修正后再组装为全局海森矩阵。本文对不同的变形类型、物理参数、几何结构、网格分辨率、弹性能量类型等分别进行了实验,本文方法均有好的表现。同时本文在包含大量变形类型的数据集上的进行了实验,结果表明,本文方法需要更少的迭代次数,有更高效的计算效率和更好的鲁棒性。
本文第三个工作提出了一种基于非线性降维等距特征映射算法重建高斯图像,获得更小逼近误差的可展映射方法。可展曲面可以由平面弯曲得到,复杂模型如果能优化表达为可展曲面,那么将简化制造过程,显著降低成本。因此,获得与原模型逼近误差小的离散可展映射有重要意义。本文将输入网格的高斯图像重建为一维结构,然后以此作为驱动面法向,重建出网格,对该过程持续交替迭代直到输出网格接近可展。在重建高斯图像阶段,本文对每一个局部邻域面法向通过等距特征映射算法将其降到一维,然后求出每一点的切向量,再根据最小化相邻法向在切向量垂直方向上的距离和,重建出接近一维结构的局部曲线,接着通过采样和加权融合策略,给每一个法向赋予权重,生成全局目标法向量。在法向驱动变形阶段,本文采用经典的基于局部和全局的法向变形框架重建出网格。因为可展曲面的高斯图像是一维的,而本文计算出来的驱动面法向接近一维结构,所以每次迭代的输出网格都更进一步向可展靠近。实验表明,相较于现有其他方法,本文的方法与输入网格的逼近误差更小,非可展割缝也更加显著。
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