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摘要： 一、教学内容与核心素养目标（一）教学内容“二次函数”是北师大版初中数学九年级下册第二章的内容，与此前学习的一元二次方程、一次函数和反比例函数密切相关，也是高中学习函数、解析几何和不等式的基础。（二）核心素养目标1.数学眼光：培养学生在现实世界中观察数量关系和空间形式的能力，以及对数学规律的敏锐观察和感知能力；从生活现象导入学习二次函数，培养学生从生活中提取数学问题，完成建模的意识，引导其形成基础的数感、量感和空间观念，增强对数学模型的认知能力，逐步内化为观察世界的思维习惯。

关键词： 部分函数线性模型   拟合优度检验   核条件均值依赖性   再生核希尔伯特空间   函数型数据分析  

摘要： 本文提出了一种基于核条件均值依赖性(Kernel-based Conditional Mean Dependence,KCMD)度量的部分函数型线性回归模型拟合优度检验方法。该方法创新性地将再生核希尔伯特空间理论与函数型数据分析相结合,解决了部分函数型线性回归模型下的假设检验问题。所提出的KCMD检验统计量具有如下三个重要优势:(1)在原假设成立的条件下,该统计量渐近服从标准正态分布,从而无需复杂的重抽样即可直接确定临界值,显著简化了计算过程;(2)该方法避免了Bootstrap等方法计算成本较高的重抽样步骤,在提高计算效率的同时,仍然能够保持与现有方法相当的检验功效;(3)本方法的理论框架具备良好的可扩展性,能够自然地推广至其他半参数函数型回归模型的检验问题中。理论分析表明,所提出的检验方法在固定备择假设下具备相合性,且具有理想的局部检验功效性质。通过数值模拟研究表明,该方法在检验水平控制和功效提升方面均显著优于传统的基于Bootstrap的检验方法。此外,通过实际光谱数据的应用分析,进一步证实了该方法的实用性和有效性。综上,本研究提出的方法在计算效率和统计严谨性方面均有显著优势,为函数型线性回归模型的有效性检验提供了一种高效可靠的工具,并具有向高维和非线性模型框架拓展的潜在价值。

关键词： 病变网络映射   卒中后认知障碍   功能失连接   结构失连接  

摘要： 卒中是一种脑血管疾病,卒中后认知障碍(Post-stroke Cognitive Impairment,PSCI)是其常见后果之一,通常表现为认知功能下降,如注意力、记忆、执行功能和语言能力等。然而PSCI的影像学特征尚未形成稳定的共识,疾病机制有待进一步明确。近年来,基于磁共振成像技术的病变网络映射研究成为重要工具,为刻画病灶与远隔脑区网络损伤提供了新的研究思路。然而,现有研究多局限于单一模态,较少涉及PSCI的分子机制探索,且缺乏针对不同认知障碍程度的系统分析。因此,本论文将使用多模态影像学数据,识别并验证PSCI的认知障碍环路,同时探讨不同认知障碍程度患者的全脑结构与功能失连接特征。 本研究共纳入55例急性轻型缺血性卒中患者及91名健康对照。首先,使用病变网络映射方法收敛出唯一一个感兴趣病灶,左侧丘脑,它映射出了PSCI的认知障碍环路。结果发现,严重认知障碍患者的病灶更易落入该环路。进一步从脑区功能、神经递质和基因表达等角度分析,发现认知障碍环路与已报道的记忆环路有着高的空间相似性,该环路与烟碱型乙酰胆碱受体密度关系最为紧密,且涉及血液循环、血管发育、炎症因子表达及信号传导等生物学过程。此外,本研究发现左侧丘脑和左侧内侧额上回的功能连接减低可能是PSCI进展的关键原因。 其次,本研究采用功能失连接和结构失连接分析方法,系统探讨PSCI的功能与结构连接断联的潜在机制。结果表明,PSCI患者的功能连接断裂主要集中于尾状核,且三核心脑网络的连接断开程度可能与PSCI的严重程度密切相关。结构失连接分析发现,左侧前丘脑辐射的结构连接受损在PSCI的疾病机制中可能发挥更重要的作用。值得注意的是,结构-功能失连接网络的耦合异常可能反映PSCI的潜在影像学易感性特征。 总体而言,本研究揭示了PSCI的关键病灶及其相关认知障碍环路,左侧内侧额上回可能成为新的生物标志物及神经调控治疗的潜在靶点。并进一步从功能和结构失连接的角度,深化了对PSCI脑网络失连接机制的理解。未来研究可基于这些发现,进一步探索新的生物标志物和治疗靶点,为PSCI的早期诊断和干预提供理论依据和实践指导。

摘要： 1949年，美国数学工作者Chester McMaster曾经提出过一个有趣的初等数学问题———Chester McMaster赛场选址问题（下面简称赛场选址问题），其核心内容可以表达为1952年***和LeoMoster在美国中学数学教师刊物《数学文集》上提出的如下问题：数轴上有n个点，在数轴上选取一点使得此点到以上n个点的距离之和最小.赛场选址问题及其变形是国内外数学竞赛中的热点，也是训练中学生数学思维的良好素材.赛场选址问题的数学本质其实就是讨论函数f（x）=|x-a1|+|x-a2|+……+|x-a_n|的最值问题.李锦旭、卞文[1]，张文海[2]等人先后从不同角度对该问题及其推广进行了深入的研究；江保兵[3]等人亦对含绝对值函数的最值做了一些探讨.

摘要： 有些函数问题较为复杂,采用常规方法求解,很难快速获得问题的答案,此时需采用同构法来解题,将问题转化为简单的单变量函数单调性问题、最值问题,便可轻松解题.运用同构法解答函数问题的步骤为:1.将方程或不等式左右两侧的式子移项,并进行适当的变形,如进行指对数互换,换底数,将分子、分母同时扩大n倍等,使等号或不等号两侧的式子为结构相同的式子,即同构式;

摘要： 在中考数学试题中，几何与函数图象的综合应用问题逐渐成为考查学生综合思维能力和数学素养的重要载体.此类问题以图象为媒介，融合几何性质与函数变化规律，要求学生在理解图象特征的基础上，灵活运用几何知识进行推理与运算，体现出题目设计的开放性与探究性.该类试题不仅考查学生对函数性质、图象特征及几何关系的理解程度，更注重分析能力、空间想象力及解决实际问题的能力.

关键词： 激活函数   机器学习   隐式神经表示   注意力机制  

摘要： 隐式神经表示利用神经网络将空间坐标映射到颜色、密度等属性,在三维重建、图像生成等领域展现出良好效果,相较于传统显式表示方法,其连续性和无限分辨率特性使其在处理复杂几何结构与纹理细节时更具潜力.然而,隐式神经表示网络中激活函数的设计仍面临挑战,传统激活函数难以在非线性映射和特征保留之间取得平衡,在学习坐标到属性的映射时存在对梯度信息利用不足,难以捕捉低频背景与高频细节的梯度差异等问题,限制了隐式神经表示在高精度任务中的表现.此外,固定频率的周期激活函数虽然能增强高频表达能力,但缺乏对输入坐标特征的自适应调节机制,难以在不同任务场景中动态平衡高频细节捕捉与低频结构保持.因此,设计具有动态频率调节与参数适应的新型激活函数以增强网络表示的能力,成为提升隐式神经表示性能的关键突破口. 本文针对激活函数优化的需求,开展了两部分研究工作.首先,研究了基于余弦激活函数的MLP网络权重初始化方法.通过剖析余弦函数的特性,结合隐式神经表示的坐标映射需求,推导出适用于余弦激活函数MLP网络的权重初始化策略,证明了余弦激活函数在特定的网络权重初始化下可以确保逐层激活分布的一致性.此外,在普通余弦激活函数的基础上引入了可学习的相位参数,构建了新的激活函数,可以通过动态优化相位参数,使其能够自适应输入坐标特征,增强非线性变换能力,并为相位参数提供合理的初始化.通过图像拟合、图像重建和图像编辑三个隐式神经表示任务验证了基于带有可学习相位参数的余弦激活函数的MLP网络的性能. 其次,本文设计了带有注意力权重的周期激活函数,结合周期函数的特性和注意力机制的优势,构建了周期激活函数框架.固定频率的周期激活函数的频率参数w在任务中需要提前给定,w增大时,函数在相同的x取值范围内,振荡的次数会增多,使得激活输出跨越多个周期,意味着激活值的变化更加频繁.为了使频率参数可以自动适应各个任务,本文通过在周期函数的频率参数中引入注意力权重,设计了适用于此架构的加性注意力模块,使得网络能够根据输入坐标的区域特征,动态调整周期激活函数的频率.具体而言,于激活函数层前添加了注意力模块,将待激活值作为输入,输出注意力权重来调节频率参数.该激活函数被集成到隐式神经表示网络中,形成了完整的模型架构.之后,通过实验部分评估了带注意力权重的周期激活函数在各个任务中的表现.基于这两部分的工作,本文系统地探索了周期激活函数在隐式神经表示中的优化路径,为提升隐式神经表示网络的性能提升提供了有效的理论和方法.

摘要： 正弦函数y=A sin(ωx+φ)、余弦函数y=A cos(ωx+φ)、正切函数y=A tan(ωx+φ)中均涉及了参数ω.值得说明的是,正余弦函数中ω=2π/T,正切函数中ω=π/T(T为函数的最小正周期).参数ω的值直接影响着函数的解析式、单调性、周期性、对称性、最值等.因此在解题时,通常要重点研究参数ω的值或取值范围.下面重点谈一谈如何求三角函数中参数ω的取值范围.