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关键词： 概念   性质   核心素养   函数   单元教学设计  

摘要： 数学学科核心素养的指向必须扎根于数学课堂教学与学习，基于数学知识的学习来实现核心素养的培养与提升，这已经成为数学教学与学习的一个常态.本文中通过以“函数的概念与性质”单元教学设计为例，立足单元教学根本，突出函数的基本概念与基本性质，指向核心素养的培养与提升，指导数学教学与学习.

摘要： 从数学视角来看,“数”与“形”有着紧密的联系．“数”因“形”而变得更为直观,“形”因“数”而变得更为精确．数形结合已成为解决数学问题的重要思想、方法,在二次函数解题中有着广泛的应用．应用数形结合解答二次函数习题涉及一些技巧与细节,需要在实践中不断体会、积累．一、基础类习题该类习题以给出二次函数图象、关系式为常见情境．考查的知识点主要有:二次函数图象特点、对称轴、与x轴交点的求法、二次函数与其他函数的关系等．解题的关键在于细致读图,深挖图象中的隐含信息,从“图”中提炼出“数”的关系．同时,注重图象上特殊点的应用,以求出相关参数的值或范围,尤其注重已得出结论的运用,通过巧妙代入探寻更深层的数量关系,从而做出正确的判断．

摘要： 函数中的同构问题是一类热门的疑难题,该类试题通常出现在小题压轴的位置,需要学生通过对函数结构进行整理、构造,结合函数的性质综合分析,得出结论.越丑陋的结构,需要“美颜”的工序越复杂,难度就越大.考查的是学生分析问题、观察问题、建构问题的能力.2024年台州二模中就出现了这样的一道题.

关键词： 自由拟共形映射   局部弱拟对称映射   拟双曲度量   环性质   一致域  

摘要： 1976年,Gerhing与Palka在欧氏空间Rn中引入了拟双曲度量.此后,诸多学者在研究拟双曲度量的过程中,提出了自由拟共形映射与一致域的概念,并对其相关性质展开探究,得出了很多重要的结论.本学位论文主要研究两个方面:一是研究度量空间中自由拟共形映射与局部弱拟对称映射的相关性质,二是研究Q-正则度量空间中一致域的等价性问题.本文主要工作有: （1）介绍了研究问题的背景,并给出了本文的主要结论. （2）定义了自由拟共形映射、局部弱拟对称映射、solid映射及环性质等概念,并详细给出上述概念相关性质的证明.此外,还讨论了拟双曲度量中一致连续和semisolid映射之间的关系. （3）引入了John域、（α,β）类、A（δ）等概念,同时还给出了度量空间中一致域的概念及相关的性质. （4）阐明了本文的主要结论,包括度量空间中自由拟共形映射与局部弱拟对称映射的等价关系,以及Q-正则度量空间中一致域的等价性问题. （5）总结本文研究的主要结果,并提出后续的一些研究设想.

关键词： 自适应权重   混频数据   MIDAS-GARCH模型   数值模拟   波动率预测  

摘要： 在金融市场的运行过程中,股票价格的波动性始终是投资者高度关注的核心指标之一。准确预测波动率对于投资组合的风险管理、金融衍生品的定价以及资产配置策略的优化均具有至关重要的作用。然而,传统的波动率度量方法通常仅局限于单一频率数据的分析,如仅使用低频数据或高频数据,这种单一频率的分析方式无法全面捕捉市场动态,限制了对波动率的精准预测。为了更有效地利用数据信息,混频抽样技术(MIDAS)与广义自回归条件异方差模型(GARCH)模型的结合有效整合不同频率的数据,为波动率预测提供了新思路。但现有MIDAS-GARCH模型的权重分配方式大多基于数据的时间顺序,无法动态适应高频数据的实时波动特征,导致信息提炼的局限性,这种固定权重分配模式无法充分反映高频数据的动态变化,从而限制了模型的预测精度和稳健性。 为解决上述问题,本文提出以下改进:其一,设计自适应权重函数,突破传统固定权重形式的约束,引入数据驱动机制动态优化权重分配,使函数能够根据高频数据的波动特征与交易属性实时调整权重;其二,将自适应权重函数与混频GARCH模型结合,构建自适应权重MIDAS-GARCH模型,实现高低频数据的有效融合,同时捕捉长期趋势与短期波动特征。 本文的研究主要集中在以下几个方面:首先,本文构建了一种基于自适应权重的MIDAS模型,该模型能根据高频数据的实时波动和交易特征动态调整权重分配,克服了传统固定权重函数在不同情境下可能导致的权重错配问题。实证结果表明,相较于传统的Beta权重、Almon权重等固定权重函数,自适应权重函数的MIDAS模型能够更贴合高频数据的实际交易特征,从而更高效地提炼高频数据中的有效信息。 其次,本文构建了一种基于自适应权重的MIDAS-GARCH模型,并详细探讨模型参数估计量的一致性和渐近正态性,通过拟极大似然估计方法对模型参数进行估计。数值模拟结果验证了该参数估计方法在不同数据生成机制下均展现出较高的估计精度和稳健性。 最后,本文通过实证分析,采用自适应权重MIDAS-GARCH模型对波动率进行预测,并将其与标准GARCH模型、GARCH-RV模型以及传统MIDAS-GARCH模型进行对比分析。研究结果表明,自适应权重MIDAS-GARCH模型在预测精度和稳健性方面均显著优于其他对比模型。该模型能够更高效地提取高频数据中的关键信息,从而显著提升波动率预测的准确性。

关键词： 预测稳定性   神经网络   误差范围   医疗健康  

摘要： 受益于数据规模的激增和计算能力的迅猛提升,以深度神经网络为核心的人工智能技术也获得了前所未有的发展。在医疗健康场景中,面向特定疾病开发的预测系统与决策辅助工具,借助历史数据训练深度模型,在一定层面上克服了医生个人经验的不足,模型的诊断准确率已接近专业医师水平。然而现有研究结果表明,即便较小(可容忍)的输入数据误差,通过深度神经网络的传播,有可能导致较大的预测偏差。而在实际应用中,上述误差是难以避免的。伴随着深度神经网络的广泛部署,如何提升预测模型的稳定性与鲁棒性,保证其在医疗健康等安全关键型应用中的安全性成为亟待解决的关键问题。 对抗训练(Adversarial Training)是近年来提高深度模型稳定性与鲁棒性的重要手段。此类方法通常包括两个阶段:首先,生成最容易引起模型预测变化的扰动样本;其次,在原始训练过程中加入这些扰动样本进行“噪声注入式”训练,从而促使模型在遭受输入扰动时仍保持性能稳定。尽管对抗训练在图像识别等领域取得了一定的鲁棒性提升,但该方法本质上依赖于第一阶段,即对抗样本生成机制的有效性与覆盖性。然而很明显,要生成所有的对抗样本并不可行。因此,通过对抗训练往往只能提高模型对于已知对抗样本的识别能力,而对于比例更大的其它类型扰动样本缺乏足够的泛化能力。更重要的是,现有研究表明加入额外噪声样本可能会削弱模型在原始样本上的预测准确性。针对上述问题,本文重点研究在无需生成额外训练样本且保证预测准确度的前提下,如何提高预测模型的稳定性。本文主要贡献如下: (1)提出一种基于多目标损失优化的疾病预测稳定性增强方法。首先将预测问题定义为多目标损失优化问题,同时包含稳定性损失及准确度损失。进一步,将稳定性损失分解为深度神经网络逐层传播的累积过程,通过评估初始扰动在每一层的传播,得到最终的扰动输出。基于此,本文设计了一个稳定性增强的损失函数(SELoss)及相应的多层学习策略,通过控制输入扰动在每一层引起的输出误差,来提高模型的稳定性和准确度。在多个公开医疗数据集上的预测任务开展实验验证,结果表明本文所提方法均实现了更准确和稳定的预测。 (2)将上述稳定性增强方法扩展至时间序列模型,并进行可解释研究。考虑输入扰动在时间序列模型中具有随时间演化和层间传播的复杂动态特性,本文对基于时间步的误差传播形式进行了重新建模,从而对扰动的传播影响机制进行了改进,以更准确地衡量其对最终模型输出稳定性的影响。进一步,设计基于Shapley值的可解释方法,通过定义特征独立贡献以及特征交互贡献,并对比原始模型及改进模型的变化趋势,对稳定性改进原理进行分析,为进一步的稳定性与鲁棒性改进提供解决思路。 (3)设计基于误差范围的稳定性验证框架与稳定性评价指标体系。首先,本文打破了以往仅在固定扰动强度下对模型稳定性进行评估的思路,构建了一套基于误差容忍范围的稳定性验证框架。通过逐步扩展扰动范围并评估模型预测输出的变化情况,从而判断模型在“可接受稳定性水平”下所能承受的最大误差范围,从而识别并比较模型在实际误差范围的可应用性。其次,本文首次开展了模型轻量化剪枝策略与模型稳定性之间的内在关联分析,量化了剪枝对模型稳定性的影响,为模型评价提供了新的衡量标准。上述工作为构建高稳定性的医疗预测系统提供了坚实的理论依据和实践路径。