课程文献中心 更多>>

摘要： 二次函数在中考数学中占据重要地位,交点与整点问题是其常见考点．这些问题能综合考查同学们对函数概念、性质、方程求解以及数形结合思想的掌握,有助于提升同学们的数学思维与综合解题能力,故对其进行深入探究有重要教学与应考意义．

关键词： 转化与化归   核心素养   函数   方程   不等式  

摘要： “抓基础,重转化”是学好中学数学的一把金钥匙.基于转化与化归思想,从不同思维视角来剖析转化的类型与应用,进行合理的思想方法导航,总结规律与解题技巧,培养数学核心素养,指导数学教学与复习备考.

关键词： 缩略图保持加密   混沌模型   可用性和保密性的平衡  

摘要： 随着信息技术的飞速发展,将图片存储于云端已成为一种常见且便捷的方式。然而,这种存储方式也带来了诸多安全隐患。若图片以明文形式存储,极易被非法用户窃取;而采用传统图像加密方法得到的类噪声图片虽能保障安全性,却因难以管理而不利于用户在云端对图片进行操作。为解决这一矛盾,缩略图保持加密应运而生,它能够在确保图像保密性的同时兼顾其可用性。但是目前存在的两个像素保和的缩略图保持加密算法安全性不高,需要经过多轮加密来确保安全性,而多像素保和的缩略图保持加密大多依赖于Rank-then-Encipher(RtE),时间性能差。鉴于混沌模型在图像加密领域所展现出的诸多优良特性,如高度的随机性、敏感性等,基于这些,本文提出了一种基于扰动混沌模型且不依赖RtE的三像素保和的缩略图保持加密算法。 首先,针对目前混沌模型控制参数取值范围小、低精度下存在混沌动力学退化等问题,从数学分析的角度构造了两种基于扰动的混沌模型:一种是添加了外部扰动的一维混沌模型。经过实验验证,该模型具有较高的李雅普诺夫指数、较广的控制参数范围,近似熵和排列熵等关键指标也展现出良好的动力学特性。另一种是添加了内部扰动——延迟状态扰动的二维混沌模型,实验同样验证了该模型具有优良的混沌特性。 其次,针对缩略图保持加密算法时间效率不佳的问题,设计了一种新颖的缩略图保持加密方案,该方案所基于的扩散算法——保和加密算法不再依赖于传统的RtE模式,直接用数学公式表达。经实验验证,本文所构造的缩略图保持加密方案不仅具有较高的时间性能,还能够有效抵御差分攻击、噪声攻击和已知明文攻击等多种常见攻击手段。 最后,本文在上述算法讨论的基础上,设计了一种可视化程序,便于用户根据需求选择不同安全性和可用性的加密结果图片。

关键词： 径向基函数   可约求积公式   第二类Volterra积分方程   接近奇异积分  

摘要： 第二类Volterra积分方程和接近奇异积分在物理,工程等领域中被广泛应用.通常情况下,积分方程的解析解和接近奇异积分的准确值难以得到.因此,Volterra积分方程的数值解和接近奇异积分的数值计算成为计算数学领域的研究热点之一.本文通过径向基函数构造了一类新的可约求积公式,并利用QR算法处理系数矩阵的病态性.主要研究成果如下:(1)基于常微分初值问题,利用径向基函数构造了可约求积公式.结合QR算法处理了当形状参数较小时系数矩阵的病态性问题.(2)将基于径向基函数的可约求积公式应用于第二类Volterra积分方程的数值求解,并进行收敛性和稳定性分析.(3)将基于径向基函数的可约求积公式和非线性变换相结合,应用于接近奇异积分的数值计算.理论分析与数值实验表明,这类可约求积公式可以高效稳定地求解第二类Volterra积分方程,同时在计算接近奇异积分时,可以克服接近奇异性,达到更高的精度.

关键词： 柯尔莫哥洛夫叠加定理   高维   深度学习   函数逼近   偏微分方程  

摘要： 1900年,Hilbert在国际数学家大会上提出23个问题,其中第十三问题探讨了七次代数方程实根能否用两个变量的连续函数表示,这一问题启发了多元函数表示研究.经过多年发展,至1957年,Kolmogorov提出了多元函数叠加定理(KST),证明了任意连续的多变量函数均可表示为有限个一维连续函数的叠加,而在连续函数的范畴下解决了 Hilbert第十三问题.具体而言,对于任意连续的d维函数f:[0,1]d→R,存在一维函数gq和严格递增的函数ψq,p,使得: 该定理不仅为Hilbert第十三问题提供了解法,也奠定了高维函数逼近的理论基础.随着人工智能与物理模拟等领域的快速发展,高维问题日益普遍,成为科学研究与工程应用中的核心挑战之一.然而,维数灾难(CoD)带来的数据稀疏性与计算复杂度,严重限制了模型在高维空间中的精度与效率.传统偏微分方程(PDEs)求解方法如有限元法(FEM),虽在中低维问题中表现优异,但在高维场景下计算成本高,效率低,难以满足实际需求. 深度学习的快速发展为高维问题的求解提供了全新的研究范式.Raissi等人提出物理信息神经网络(PINN),为PDEs求解带来新思路,但主要聚焦于低维问题,难以扩展至高维场景.2024年,Liu等人基于KST理论和B-Spline构造了可训练激活函数的多层神经网络,虽在函数逼近中取得良好效果,但在高维复杂PDEs求解中仍面临计算开销大,训练时间长等挑战. 为此,本文提出一种结合KST理论与深度学习的新型切比雪夫柯尔莫哥洛夫神经网络(CKN).该方法以Lorentz提出的KST变体为基础,通过外函数的单一叠加结构显著降低逼近难度和算法复杂度.具体而言,该变体证明了存在函数g和ψq使得:从而有效减少了内外函数的数量.本文将深度学习的逼近能力与KST的简化表达形式相结合,论文的主要研究内容及创新点如下: 1.提出了一种新型的神经网络结构CKN,该网络基于KST变体构建,并采用高精度的切比雪夫神经网络(ChNN)对内外函数进行逼近,在显著压缩参数规模的同时,提升了函数逼近精度. 2.构建了深层嵌套式CKN,并引入前馈层以增强模型的表达能力和数值稳定性.实验结果表明,该结构在复杂问题中表现更优,具备更强的非线性建模能力和更好的训练效果. 3.设计了一种高效的并行计算框架,通过将网络结构矩阵化表达,有效优化了计算流程,显著提升了整体计算效率.CKN在函数逼近与PDEs求解任务中整体表现优于KAN,MLP和PINN等基线方法,尤其在高维问题中,CKN在逼近精度,收敛速度及参数效率方面展现出更为突出的性能优势.

摘要： 根据已知条件确定函数y=Asin(ωx+φ)中参数ω的取值或取值范围,是三角函数图象变换中较为常见的一类问题．大多数题目是要求解题者根据给出的图象来确定参数ω的取值或取值范围,这类题目一般比较容易,通常只要从图象上观察三角函数y=Asin(ωx+φ)的周期T的情形,再利用公式■就可解决问题．还有一类问题是已知它的某些性质,如该函数在某个区间上的单调性,在某个区间上存在最大值,在某个区间上有零点,等等,这类问题的难度就加大了很多,那么这类问题究竟该如何破解?本文举一例加以说明,希望对大家有所启示．

摘要： 考情解读近年来中考数学试题中的动点轨迹与函数图象信息问题,主要考查几何图形性质与函数关系的综合分析.解决这类问题,需要系统地分析动点的运动规律,并建立相应的数学模型.近几年中考常见的题目类型和解答策略如下.(1)识别动点的运动路径.常见的运动路径有:

关键词： 几何直观能力   初中函数   培养策略  

摘要： 几何直观能力是初中数学核心素养的重要组成部分，能借助图形描述分析问题，这与函数“数与形”结合的本质十分契合。文章围绕几何直观能力在初中函数教学中的培养展开实践探讨，首先阐释核心概念与理论基础，其次分析其在初中函数教学中的育人价值，最后提出具体培养策略，希望能为初中数学教师提供可操作的教学模式，助力学生实现函数知识的深度学习与素养提升。

关键词： 伪重叠函数   乘法生成子序   加法生成子序  

摘要： 本文主要讨论伪重叠函数的乘法生成子序与加法生成子序.首先提出伪重叠函数的乘法生成子序的概念并讨论其相关性质，然后提出伪重叠函数的加法生成子序的概念并讨论其相关性质，最后讨论了伪重叠函数的乘法生成子序与加法生成子序之间的关系.

关键词： 均生函数   CNN-BiLSTM-AM模型   VMD-SSA-BiLSTM模型   降水预测  

摘要： 月降水是评估一个地区旱涝状况的关键指标,能够直观地体现当地自然环境的变化态势以及生态系统的动态特征。由降水引发的自然灾害严重影响了广西经济的发展,对经济社会稳定发展构成巨大威胁。然而,现有的卷积神经网络在降水预报中难以有效提取数据时序特征,长短期记忆神经网络难以提取数据局部空间特征,而传统的时间序列模型预测精度较差。因此,深入认识并精确把握月降水的演变规律,探究其多元影响因素,建立一个高效、准确率高的月降水预测模型,具有重要的现实意义。基于此,本文在充分考虑月降水数据内部特征的基础上,以广西柳州市1951年1月至2024年12月的月降水数据为研究对象,分别从时间序列和多特征两方面,构建基于均生函数的组合预测模型来预测柳州市月降水。本文所做工作及取得成果如下: (1)针对降水变化受多重复杂机制与因素综合作用的特点,本文采用均生函数对原始降水序列进行延拓,构建包含444个特征因子的扩展数据集,在此基础上,考虑到降水序列呈现显著的不确定性与非线性演化特性,采用主成分分析技术进行降维处理,最终提取出30个具有代表性的降水因子。该方法通过时空维度扩展与数据特征提取,有效解决了降水数据非线性特征带来的分析难题。 (2)为解决月降水波动变化信息较复杂以及传统模型预测精度不高的问题,本文提出基于时间序列的VMD-SSA-BiLSTM组合预测模型,该模型中VMD能够很好捕获月降水数据各频率上的信息,降低BiLSTM拟合难度,SSA优化算法通过不断对BiLSTM模型的超参数进行精细化调优,进一步提高了模型预测精度。实验结果表明,VMD-SSA-BiLSTM模型的预测精度为85.02%。为解决现有预测方法中忽略月降水影响因素的问题,建立了基于多特征的CNN-BiLSTM-AM的月降水预测模型。实验结果表明,基于多特征的CNN-BiLSTM-AM组合模型的预测精度为93.82%,相较于CNN模型提高了2.75个百分点、BiLSTM模型提高了3.29个百分点、CNN-BiLSTM组合模型提高了1.27个百分点,以上数据证明基于多特征的CNN-BiLSTM-AM的月降水预测模型适合进行月降水预测。因此,本文采用CNN-BiLSTM-AM组合模型对2025年柳州的月降水量进行预测,得到的结果分别为68.57mm、34.25mm、95.85mm、224.08mm、265.58mm、267.01mm、194.69mm、146.47mm、173.28mm、247.25mm、119.1585mm、68.76mm,结果表明了2025年柳州月降水量的波动趋势,成功捕捉到关键降水特征,相关部门可根据预测结果提前做好防洪抗旱的准备,以减少经济损失。