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关键词： p-Laplacian算子   Ricci流   normalized Ricci流   Rescaled List's extended Ricci流   能量泛函   单调性  

摘要： 这篇论文主要研究了三类问题:p-Laplacian第一特征值的上界估计;Ricci流上几何量的单调性;List流上特征值的单调性.在第一章中,考虑了n维完备黎曼流形(M,g)上有关方程△pu =-λ|u|p-2u,p>1的正解的梯度估计,得到了有关p-Laplacian第一特征值的上界估计.在第二章中,在n维紧致无边的黎曼流形(Mn,g(t))上考虑如下非线性方程-△u + aulogu + bRu =λabu,(?)u2 dv = 1的正解,其中λab(t)是使方程存在正解的最小常数.g(t)沿着Ricci流和normalized Ricci流演化,得到了有关λab(t)的第一变分公式.特别地,这一章的结果推广了[7]和[24]中的结论.在第三章中,首先研究n维紧致无边的黎曼流形(Mn,g(t))上沿着Rescaled List's ex-tended Ricci 流(?)/(?)tgij=-2(Sij-r/ngij),φt = △φ特征值和能量泛函的单调性公式.得到Laplacian算子特征值的单调性公式,从而推广了Li[29]和Cao-Hou-Ling[9]中的结论.此外,也考虑Fk泛函和Wk泛函的单调性公式,其中Fk被看作对于steady Ricci breathers的F泛函的推广及Wk泛函被看作对于Shrinking Ricci breathers W泛函的推广.

关键词： 周期系数   边界条件   半周期   特征值不等式及等式   一一对应关系  

摘要： 本文研究了具有周期系数的S turm-Liouville问题的特征值问题。对于具有周期系数的Sturm-Liouville方程而言,区间[a,a+kh]上的周期特征值正是区间[a,a+h上的复共轭边界条件下的特征值。通过对于区间[a,a+h]上特征值性质的研究,我们给出了区间[a,a+kh]上周期特征值所满足的条件,并在此基础上,给出了区间[a,a+kh]上周期特征值的不等式关系,进而得到这些特征值与复共轭边界条件下特征值的一一对应关系。运用同样的方法,我们也给出了半周期特征值的不等式关系以及其与自共轭边界条件下特征值的一一对应关系。

关键词： Helmholtz传输特征值   混合有限元法   正则性估计   误差估计  

摘要： Helmholtz传输特征值问题由于在材料科学有着重要的应用,一直都是数学和力学界关注的热点问题,很多学者倾其精力于它的数值处理上。该问题的困难在于它是一个非椭圆且非对称的方程,无法用传统的特征值分析方法直接求解。在该研究领域中,Cakoni、Monk和Sun提出了一个新颖的变分公式,并对此方法对应的有限元逼近做了误差分析。同时,Yang、Bi、Li和Han将Ciarlet-Raviart混合元法应用于该问题并取得理想效果。由于混合元法对于重调和方程有广泛的应用,能够降低空间自由度,提高计算效率,因此混合元法的研究有重要价值。本文从理论角度出发,参考多个学者的研究方法和成果,对传输特征值问题提出了相应的混合计算方法,依靠特殊论证证明了方法的正确性和可行性,达到研究的预期效果。首先,我们将Cakoni等人提出的公式与Ciarlet-Raviart混合元结合起来,提出一个新的混合变分公式。因为其无法直接利用经典特征值理论,我们依靠两个正则性估计来证明混合变分公式根的存在性及唯一性,并给出对应的共轭问题。然后证明变分问题和离散问题的解算子都是紧算子,为收敛性的证明做准备工作。随后,我们定义特殊的拉格朗日插值算子和纽曼投影算子,运用插值理论,证明该问题有限元解的收敛性,进而推出离散问题的解算子收敛于变分问题的解算子。基于该结论,我们即可依托特征值经典理论来说明有限元混合变分公式所得特征值和特征函数的收敛性,达到期望的结果。在文章的最后,我们对该方法的收敛阶进行了探讨,通过特殊的论证方法,本问题的收敛阶可得到进一步的提高,直接说明此方法的可行性和高效性。

关键词： 线性相关   线性回归   统计推断   等价  

摘要： 相关分析与回归分析是统计学中研究两个变量或多个变量之间关系的重要工具。在做两个变量的线性相关分析时,要通过样本统计量r对线性相关系数进行假设检验;在做两变量的回归分析时,既要对整体回归效应进行方差分析,又要对回归系数进行假设检验。然而,在对两个变量进行相关和回归分析中,尽管上述三种统计推断的目的各不相同,所选的统计量也不同,但它们的效果却是等价的。

关键词： 聚类分析   谱聚类   谱聚类矩阵   特征向量   正则化   不适定  

摘要： 大数据时代已经来临,当今社会得数据者得天下。如何高效、准确地分析和处理海量的数据成为了时下的热门话题。聚类分析作为数据挖掘领域中一颗冉冉升起的明星,在近些年吸引了大量的关注并取得了快速的发展。谱聚类算法是在传统聚类算法的基础上,结合了图的谱理论,发展起来的一种新型优秀算法。它具有能在任意形状的数据样本空间上进行聚类并收敛于全局最优解的优点。本文从谱聚类算法的时代背景、发展现状、基本思想、具体流程以及面临的问题等方面详细介绍了谱聚类算法,并基于其面临的问题提出了两种创新型的解决方案。在关于特征向量如何选取的问题上,由于特征向量构成的空间决定了谱分解的效果,继而决定了聚类的质量,因此选择合适的特征向量对算法而言是十分重要的;本文在对该问题的研究后,提出了一种基于特征向量自动选取的谱聚类算法,经过数值实验验证后,得出在对于典型谱聚类问题的处理上该法可以提高算法质量并解决特征向量的选取问题。在关于优化算法的问题上,低秩子空间谱聚类算法适宜于缺损数据的聚类问题,但是该算法可能出现不适定性;为此本文提出了正则化低秩子空间谱聚类算法;通过正则化方法解决不适定问题,通过数值实验表明,这种算法在一定程度上可以解决缺损数据的谱聚类问题,抑制噪声,获得质量较高的聚类结果。

关键词： SAR   图像去噪   低秩矩阵逼近   联合块匹配   总变分正则化残余噪声方差估计  

摘要： 合成孔径雷达(Synthetic aperture radar,SAR)图像能够为许多应用提供有用信息,如军事侦察与识别、遥感测绘等。但由于成像传感器中存在大量随机分布的散射体,其反射的雷达回波相干叠加,从而不可避免地在图像中产生相干乘性噪声,为后续SAR图像分析带来了极大不便。因此对SAR图像的斑点噪声进行抑制具有重要意义。本文研究的主要内容是将低秩逼近算法推广到SAR图像去噪中,对低秩逼近算法进行研究改进,提出了一种基于新相似性度量的总变分正则化加权核范数最小化(Weighted nuclear norm minimization,WNNM)的图像去噪算法,主要内容和创新点如下:1.针对视数较低情况下SAR图像降噪效果不明显的问题,提出了一种新相似性度量的联合块匹配方式。首先根据SAR图像的局部相似特性,采用非局部WNNM算法应用于SAR图像去噪;然后通过离散二维余弦变换,将频域信息作为主要参考信息,提出了一种基于频域欧氏距离和结构相似度的联合块匹配方式;最后通过新联合块匹配方式寻找相似块,构造低秩矩阵,采用WNNM算法逼近低秩矩阵,通过堆叠复位得到去噪后的图像。仿真实验结果表示,基于联合相似块匹配和WNNM结合(P-WNNM)的SAR图像去噪算法能够有效增强图像的细节信息。2.针对P-WNNM算法边缘模糊的问题,提出总变分正则化和P-WNNM结合(TV-PWNNM)的图像去噪模型,并通过不精确拉格朗日乘子算法求解。由于TV-PWNNM算法在迭代去噪的同时也滤除了有用的几何结构信息,因此,在弱纹理状态下采用主成分分析(Principal component analysis,PCA)提取少量几何信息来对残余噪声方差进行再估计,之后在低秩模型下采用改进残余噪声方差估计的TV-PWNNM算法来逼近低秩矩阵,最终达到SAR图像噪声抑制的目的。仿真实验结果表明,该算法能够充分保留原图像的细节和边缘信息,从客观和主观视觉上看,该方法优于目前主流的图像去噪算法。

关键词： 行列式   Cramer法则  

摘要： 行列式是由解线性方程组产生的一种算式。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中,行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。

关键词： 非刚体   形状基   非负矩阵分解   特征值   射影重建  

摘要： 刚性物体结构固定、运动形式也比较简单,因此,在早期研究阶段,三维重建的研究工作都是针对物体做刚体运动的情况,或是将三维目标物体当做刚体进行分析和研究。目前,刚体三维重建技术已较成熟且走向应用。但是,在真实世界当中,大部分物体运动属于非刚体运动,动态的非刚性物体运动比静态的刚性物体运动更加具有普遍性和多样性,并且要比刚性物体运动复杂的多。因此,传统的刚体三维重建方法很难直接应用在非刚体三维重建上,仅是将非刚体简单假设为刚体不能贴切反映客观世界,甚至会由于误差叠加导致重建失败。因此,非刚体三维重建技术的研究迅速发展成为计算机视觉研究领域的一个热点问题,也是目前计算机视觉研究领域的一个难点。但是,在无任何先验知识的情况下,从已有单个图像序列中只能实现非刚性目标物体的射影重建,而射影重建又是非刚性目标物体三维重建过程中必不可少的一个关键环节,且其重建精度会对最后三维目标物体的重构结果产生很大影响。因此,本文着重研究基于图像序列的非刚体三维射影重建技术,在形状基概念的基础上,展开了一系列非刚体三维射影重建技术的研究。本论文的主要研究工作如下:(1)在三维重建过程中,图像都以像素矩阵形式存储,这些矩阵都是非负矩阵。因此,可以将非负矩阵分解方法应用到三维目标物体的射影重建当中,在假设摄像机成像模型为正投影模型的情况下,提出一种基于非负矩阵分解的非刚体三维射影重建算法。该算法先假定非刚体由若干个形状基线性加权组成,然后利用非负矩阵分解方法实现非刚体的三维射影重建。该算法能够确保射影重建结果的非负性,使三维射影重建的结果更具有物理意义。并通过模拟实验和真实实验的数据说明,该射影重建算法拥有较高的射影重建精度。(2)为了更符合实际情况,并提高算法的重建精度,假设摄像机为针孔模型,提出一种基于最小特征值的迭代非刚体三维射影重建算法。我们先假定非刚体由若干个形状基线性加权组成,然后所有的图像点和深度因子的乘积组成一个低秩的图像矩阵,利用该低秩图像矩阵的特性,将投影求解转化为求解矩阵特征值以及特征向量的问题,同时考虑列向量和行向量的约束,进而构造一个迭代地求解图像的深度因子的算法,最终利用该算法实现非刚性物体的三维射影重建。该算法可保证收敛至全局最优解。并通过模拟实验和真实实验的数据说明,该射影重建算法拥有收敛性速度快、误差小等的优点。

关键词： 二次特征值问题   半单特征值   条件数  

摘要： 1引言特征值的条件数衡量了特征值关于矩阵元素变化的敏感性,对特征值问题的求解具有重要意义.对于线性特征值问题,已经有了许多成熟的结果[1,2,3,4].然而,在阻尼动力系统稳定性分析及控制系统反问题[5]等许多工程问题上,往往需考虑如下二次特征值问题的条件数:

关键词： 推荐系统   协同过滤   后验概率   特征向量   k-SVD  

摘要： 随着互联网的迅速发展,网络信息也呈现指数型增长,信息超载已成为人们每天都要面对的问题。基于协同过滤的推荐系统是一个很有潜力的解决信息超载问题的方法,可以使得人们能够更加准确的获取自己希望得到的信息。协同过滤推荐算法之所以能够取得很大的成功,主要是利用用户评分矩阵来寻找指定用户的相似用户,这比传统的基于内容的推荐方法来寻找相似用户更加准确。然而,协同过滤算法也存在一定的局限性,用户评分矩阵是稀疏矩阵,如何利用稀疏矩阵计算指定用户的相似用户进而完成该用户的推荐成为协同过滤推荐算法的主要问题。本文首先介绍了推荐系统的背景及主流的核心推荐算法,通过对传统的推荐算法与协同过滤推荐算法的比较,可以看出协同过滤推荐算法的优势。其次,本文针对协同过滤推荐算法中的稀疏矩阵问题,分别使用统计量填充、机器学习填充、SVD分解填充来解决,通过在推荐时间和准确率这两个维度评判标准下,没有都达到很好的效果。然后,本文首次提出基于K-SVD分解的协同过滤推荐算法,该推荐算法直接利用用户特征矩阵计算用户之间的相似度,利用电影特征矩阵来计算电影之间的相似度,进而利用协同过滤算法完成推荐。与基于机器学习填充的协同过滤推荐算法相比,有效的避免了因为稀疏矩阵的填充带来的误差;与基于SVD分解的协同过滤推荐算法相比,保留了更多的信息,有效的避免了信息丢失问题。最后,通过各个不同协同过滤推荐算法的推荐结果,从时间维度和准确率角度验证了基于k-SVD的协同过滤推荐算法的效果。