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摘要： n阶行列式的计算是线性代数中的一个重要问题,也是一个很复杂的问题,其技巧性很强.理论上任何一个n阶行列式都可以按定义计算,但是当n较大时,直接按定义计算而不借助于计算机几乎是不可能的.因此,探寻n阶行列式的计算方法是十分必要的.

关键词： 待定系数法   数列   行列式   积分  

摘要： 待定系数法是数学中的一种常用的解题方法。本文结合具体实例介绍了待定系数法在解题中三个方面的应用。

关键词： 二次特征值问题   条件数   半单特征值   酉不变范数  

摘要： 矩阵特征值的条件数反映了特征值对于矩阵元素变化的敏感性,它对于衡量特征值问题数值算法的稳定性有重要作用。本文以正则二次特征值问题半单特征值的解析扰动为基础,研究了正则二次特征值问题半单特征值的条件数。我们从半单特征值的方向导数出发,给出了正则二次特征值问题半单特征值条件数的多种定义。利用奇异值分解和酉不变范数的性质,导出了条件数的计算表达式。和已有结果相比较,本文定义的条件数不仅可以衡量重特征值扰动的最坏情形,而且能反映重特征值扰动后产生的不同特征值的相应灵敏度。另一方面,本文还研究了二次特征值问题半单特征值的病态扰动,给出了半单特征值重数发生改变时系数矩阵的扰动上界。

关键词： ROC曲线   ROC曲线下的面积   刀切经验似然   线性组合  

摘要： 在临床试验中,找到生物标记物之间合适的线性组合是提高诊断准确性的常用技术手段.本文基于ROC曲线下的面积(AUC),采用刀切经验似然方法以寻求生物标记物之间的最优线性组合,并对组合参数进行相应的统计推断.理论上,本文证明了所提刀切经验似然比统计量收敛至卡方分布.同时,本文还进行了大量的数值模拟实验与实例分析以展示所提方法的优越性.

关键词： Sturm-Liouville问题   势函数   权函数   特征值  

摘要： 近年来,Sturm-Liouville(S-L)问题成为学者们研究的一个热点,其中特征值对势函数和权函数的依赖性的研究受到很多学者的关注,也就是S-L逆问题.本文在前人的基础上从左定S-L问题入手进行了研究.首先运用比较定理及特征值关于区间端点的单调性证明了:当部分区间上的势函数趋于无穷大时[0,1]区间中的特征值渐进趋于部分区间中的某个特征值.其次运用整函数的Liouville定理并通过对谱参数趋于无穷时S-L方程基本解的渐进估计,得到结论无限组谱信息可唯一确定整个区间上的势函数.具体研究内容如下:第一章,主要介绍本文的研究背景及所研究的内容.第二章,研究权函数为分段函数的S-L方程,给出当权函数为部分区间上的势函数已知时可唯一确定整个区间上的势函数的充分条件.第三章,研究权函数ω(?)1的S-L问题的特征值对势函数的连续依赖性.应用比较定理给出整个区间中的特征值趋于部分区间中的某个特征值的充分条件.第四章,研究S-L算子部分谱信息的逆问题.给定部分区间上的势函数,无限组谱信息可唯一确定整个区间上的势函数。

关键词： 张量   H-特征值   B-区间   QDB-区间   Bessel不等式   Laguerre-Samuelson不等式   张量的Moore-Penrose逆   高阶Gauss-Markov定理   吸收律  

摘要： 张量在物理学中的连续介质力学和量子力学,化学中的荧光激发发射数据,医学中的多通道脑电图,社会网络分析中的通信数据,计算机视觉中的图像压缩、人脸识别以及高光谱图像等方面都有广泛应用。许多学者在张量理论方面都做了很多有意义的工作。张量的谱理论是目前一个重点的研究方向。本文将首先讨论偶数阶对称张量H-特征值的区间估计,我们刻画了结构张量B-张量的一些性质,根据其性质,我们得到了一个包含偶数阶对称张量所有H-特征值的区间,我们把该区间称为B-区间。进一步的,我们定义了两类新的结构张量,双B-张量和拟双B-张量,可以证明双B-张量和拟双B-张量分别是双B-张量和拟双B-张量的子集,而双B-张量是拟双B-张量的子集。我们根据拟双B-张量的特殊性质,得到了一个新的偶数阶对称张量H-特征值的估计区间,称为QDB-区间,我们证明了该区间比B-区间要精确,并且该区间在某些方面优于现有的特征值估计方法。本文的另一个重要工作是讨论了经济学中重要的不等式,Laguerre-Samuelson不等式。该不等式反应了一系列实观测值以及它们的期望和方差之间的关系。本文的主要贡献是利用Bessel不等式证明了该不等式对于复观测值也成立。同时,我们给出了该不等式在概率空间上的形式。进一步的,我们利用Laguerre-Samuelson不等式给出了三个应用,即矩阵特征值的估计,多项式根的估计和张量特征值的估计。广义逆理论也是线性代数中一个重要的分支,我们利用张量的t-乘积定义了张量的Moore-Penrose逆以及张量的{1}-逆,{1,2}-逆,{1,3}-逆和{1,4}-逆等张量广义逆。利用张量方程的一般解,我们给出了张量广义逆的具体表示。进一步的,我们讨论了张量方程的最小二乘解、极小范数解和最小二乘极小范数解,并且发现了其与张量的{1,3}-逆、{1,4}-逆和Moore-Penrose逆之间的关系。利用Matlab的相关内置函数,我们给出了一个算法来计算张量的Moore-Penrose逆。同时,我们给出了张量广义逆在高阶Gauss-Markov定理上的应用。最后,我们讨论了环上广义逆的吸收律,我们给出了Moore-Penrose逆,群逆,核逆,对偶核逆,{1}-逆,{1,2}-逆,{1,3}-逆和{1,4}-逆等广义逆的吸收律成立的等价条件。进一步的,我们讨论了这些广义逆的混合吸收律。

关键词： 特征值分叉   非线性转子的不稳定性   中心子空间的非半单零特征值   静态分叉   Puiseux展开式  

摘要： 本文研究一个具有陀螺力、惯性力、势力和轴的非线性力的非线性转子中心子空间特征值的分叉和不稳定性。将系统的动力学方程进行线性近似,其线性近似具有非半单零特征值Re(λ)=0,Im(λ)=0。本论文就是讨论系统参数的变化对中心子空间的非半单零特征值和特征向量的影响。系统为一非半单系统时,其相对应特征向量形成中心子空间,控制参数在穿过临界值时产生静态分叉。我们先引用广义模态理论,计算出一组特征空间的广义模态向量。在得到原系统的特征值和特征向量的基础上,我们再来研究当系统参数穿过临界值时系统的特征值和特征向量的变化。为了分析静态分叉的特性,我们要计算控制参数在临界点的导数,然而多重非半单特征值下的导数不好计算。为此,我们用Puiseux展开来构造非半单特征值和特征向量的表达式。然后分析当参数变化时特征值和特征向量的变化。通过分析可以看出,原来m重特征值在系统参数穿过临界值时会变成m个相互独立的特征值,我们再通过特征值在参数穿过临界点时的变化去判断系统的静态分叉。本文给出了一种计算中心子空间广义模态和m重半单零特征值变化表达式的方法。最后用本文的方法来讨论一个转子模型,结果表明本文方法是有效的。

关键词： 最值问题   单元化   消元法   不等式法  

摘要： 多元最值问题一直是高考的热点,这类问题由于变量多、综合性强、形式灵活多变、变量关系相互制约而颇具挑战性,确实是一个难点,而且学生普遍对此问题感到害怕,其中一个最主要的问题是如何消元,将多元问题单元化再求最值?本文介绍一种易懂易学的处理方法——倍分消元.

关键词： Laplacian特征值   无符号Laplacian特征值   匹配数   团数   顶点覆盖数   二部图  

摘要： 设G=(V,E)是阶为n,边数为e(G)的简单图,令G的匹配数为m(G),团数为ω顶点覆盖数为τ,直径为d,Laplacian和无符号Laplacian特征值分别为μ1(G)≥μ2(G)≥…≥μn(G)=0和q1(G)≥ q2(G)≥…≥qn(G)≥0。对任意的1≤k≤n,记Sk(G)=(?)μi(G),Sk-(G)=(?)qi(G)。本硕士论文主要围绕Brouwer等人提出的猜想Sk(G)≤e(G)+(2 k+1)(k=1,2,…,n)和Ashraf等人提出的猜想Sk-(G)≤e(G)+(2 k+1)(k=1,2,…,n)展开工作。证明了m(G)=1,2时,对任意的3 ≤k≤n;m(G)=3时,对任意的5≤k≤n(部分分类3≤k≤n)这两个猜想均成立。同时证明了二部图Gs1,s2(s1≤s2),对任意的2s1+1≤k≤n;围长为g的图,对任意的1≤k≤[g/5],特别的当3+(?)/2≤[g/5]时,对任意的1 ≤k≤n;最大度为△,最大度点含有p个悬挂点的图,对任意的5+(?)/2≤k≤n,特别的G为c-圈图(c≥3),当△>c+p+4时,对任意的1≤k≤n;完全分裂图,对任意的1≤k≤n,第二个猜想也成立。还给出了文献[27]中定理Sk(G)≤k(τ+1)+e(G)-ω(ω-1)/2,(1≤k≤n)的另一种证明方法,并举反例说明定理Sk(G)≤k(τ+s2-s1)+e(G)-s1(s2-1)和定理Sk(G)≤(τ-[d+2)k+e(G)-d+cos(kπ/d)+cos(π/d)sin(kπ/d)+sin(kπ)/d/sin(π/d)不成立,其中Ks1,s2(s1≤s2)是G的最大完全二部子图。

关键词： 核酸结合蛋白预测   RNA结合蛋白预测   DNA结合蛋白预测   支持向量机   特征编码   特征向量   特征选择  

摘要： 与核酸结合的蛋白质称为核酸结合蛋白,根据结合对象是RNA或是DNA,分为RNA结合蛋白(RBP)和DNA结合蛋白(DBP)。通过与RNA或DNA相互作用,核酸结合蛋白在多种细胞过程中起到重要作用,比如基因的转录、转录后调控、翻译等。由于用实验手段识别核酸结合蛋白需要大量的金钱和时间的投入,因此需要开发能够大规模、高精度地预测哪些蛋白质可能与RNA或DNA有相互作用的计算方法,进而对实验设计有指导作用。本文对于核酸结合蛋白的预测问题进行了深入的研究,包括对RNA结合蛋白的预测、DNA结合蛋白的预测以及核酸结合蛋白的多类预测。为了具有更广的适用性,我们从蛋白质序列出发,结合支持向量机分类,开发了RBPPred方法,进行RNA结合蛋白的预测。采用的蛋白质特性包括:氨基酸的疏水性、极性、标准化的范德瓦尔斯体积、极化性、预测的二级结构、预测的溶剂可及性、侧链的带电性和极性以及蛋白质的进化信息。结果显示,RBPPred在2078个RBPs和7093个non-RBPs采用十倍交叉验证,取得的灵敏度为83%,特异性为96%,马修相关系数为0.808。并且,在独立的人类蛋白质数据集上进行测试,RBPPred取得的灵敏性为84%,特异性为97%,马修相关系数为0.788。通过与其他方法在不同数据集上进行比较,结果表明,RBPPred比目前已知的其他方法取得的结果要好很多。另外,我们还测试了RBPPred方法预测新RBPs的能力,进一步证实了该方法的实用性和预测能力。最后,我们把RBPPred应用到不同物种的蛋白质组上,在每个蛋白质组中都预测了一些可能的RNA结合蛋白,并对蛋白质中含有的保守性RNA结合结构域进行了分析。在RBPPred的基础上,我们进行了进一步的改进和完善,主要包括数据集的更新、增加了3个重要的属性特征、探索了不同序列比对数据库对RNA结合蛋白预测的影响,开发了RBPPred2.0。结果表明,RBPPred2.0相对于RBPPred在预测性能上有进一步提升。鉴于RBPPred2.0在RNA结合蛋白预测中的优异表现,我们把RBPPred2.0中用到的所有属性特征扩展到DNA结合蛋白和核酸结合蛋白的多类预测中,开发了DBP-Pred和NABP-Pred方法。经测试,DBP-Pred在含有1244个DBPs和1244个non-DBPs的非冗余的独立测试集上取得的预测灵敏度、特异性、MCC值分别为66%、87%和0.548,比其他方法的预测性能要好。在核酸结合蛋白的多类预测中,根据蛋白质与核酸的结合情况,我们定义和构建了四个新的蛋白质数据集(分别是DRBP、o DBP、o RBP、non-NABP),可以在一个模型上进行DBPs和RBPs的预测。这种全新的数据集定义方式,在核酸结合蛋白的预测算法中是第一次。通过在含有212个DRBPs、1939个o DBPs、1314个o RBPs和4993个non-NABPs的数据集上进行五倍交叉验证,NABP-Pred取得的总体预测准确度为76.08%。