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关键词： 波型方程   有限差分半离散化   有限元半离散化   特征值   特征向量  

摘要： 从本世纪初,分布参数控制系统的数值计算受到众多研究者的青睐。在这个过程中,研究人员是分两步完成数值计算的,先对空间变量半离散化,然后再对时间变量离散化。对空间半离散化后,控制系统的各种性能能否一致保持是后续工作的重要基础。基于此,研究人员对分布参数控制系统的一致指数稳定性、一致精确可观性和一致精确可控性进行深入研究。在研究上述三种性能一致保持的过程中,得到并分析半离散化系统的特征值和特征向量是重要一步。在这篇文章中,主要给出各种半离散化波型方程的特征值和特征向量的求法。方法的核心思想是将离散化系统的特征值问题看成差分方程。所研究模型集中在一维波方程和波网络系统,空间离散化方法包括有限元和有限差分,离散化网格尺寸可以是一致的,也可以是非一致的。这些因素都导致特征值和特征向量发生变化,多用的方法也随之不同。本文结构如下:第一章是绪论部分,简单介绍本文背景。第二章是预备知识,介绍研究半离散化波动方程等理论所用到的定义、定理、性质及引理。第三章,根据假设半离散化波动方程的数学模型,得到其特征值与特征向量的方法。第四章,对方程的应用进行总结。

关键词： 极大特征值   无约束优化   Armijo线性搜索   BFGS算法   全局收敛  

摘要： 本文提出两种求解高维实对称正定矩阵极大特征值问题的数值算法:基于Armijo型线性搜索的保守BFGS算法和有限记忆BFGS算法.分析算法的收敛性,并用数值试验验证算法的有效性.第一章,简单介绍无约束优化问题最优解,下降方向和各种线性搜索;回顾求解无约束优化问题的牛顿法和拟牛顿法;列出求解矩阵特征值问题的相关知识以及求解高维矩阵极大特征值问题的优化模型和算法;最后,简单陈述本文的主要贡献,并列出本文所用到的一些符号.第二章,基于求解无约束优化问题,提出求解大型实对称正定矩阵极大特征值问题的保守BFGS算法.所提算法有效地避免求解大型Hessian矩阵逆的问题.同时,在一些恰当的条件下,建立该算法的全局收敛性.最后,将所提算法和EIGS(Matlab内部计算矩阵极大特征值的命令)进行对比测试.实验结果表明该算法稳定,快速,高效.第三章,提出求解非凸优化问题的有限记忆BFGS算法,然后利用所提算法计算实对称正定矩阵的极大特征值.所提算法基于修正的拟牛顿方程并使用Armijo型线性搜索.不假设目标函数是凸的情况下,所提算法收敛到所求问题的一个稳定点.进一步,通过数值试验求解佛罗里达大学(UF)稀疏矩阵集维数达54,929维对称正定矩阵的极大特征值,并和EIGS进行比较.尽管该算法在理论上收敛到所求问题的一个稳定点而不是全局极小值点,但数值试验表明所提算法能够计算出极大特征值.第四章,总结全文并给出一些值得进一步研究的问题.

关键词： Dirichlet特征值   有限阶退化椭圆算子   Hormander条件   次椭圆估计   Grushin型算子   特征值下界  

摘要： 设Ω是Rn中具有光滑边界（?）Ω的有界开区域,X =（X1,X2,…,Xm）是定义在Q上的光滑实向量场,且边界（?）Ω关于向量场X是非特征的。若X满足Hormander条件,则向量场是有限阶退化的,而且平方和算子△x=∑j=1mXj2是有限阶退化椭圆算子。设λj是定义在Q上的-△x的第j个Dirichlet特征值,那么本文研究λj的下界估计。而且,本文主要研究一般类型的有限阶退化Grushin型椭圆算子△x在Ω上的Dirichlet特征值的精确下界估计。首先,我们研究一类Grushin型向量场X=（（?）x1,…,（?）xn-1,f（x）（?）-n）,x=（x1,…,xn-1）,其中f（x）是不含常数项的多项式,并且在Q中以x = 0为唯一的零点。本文给出了这类平方和算子△x的Dirichlet特征值的下界估计,即其中且B= min{1,n（3-Q）/2},C是出现在下面性质2.0.1中的常数,ωn-1是Rn中单位球面面积,|Ω|n是Q的体积。其次,我们研究一类更广的Grushin型向量场（?）其中fj是在Ω中以xp=0为唯一的零点的多项式。本文中也给出了这类更广的平方和算子△x的Dirichlet特征值的下界估计,即其中C是出现在下面性质2.0.1中的常数,ωn-1是Rn中单位球面面积,|Ω|n是Ω的体积。

关键词： 科研型潮流算法   矩阵运算   雅可比矩阵   线性方程求解  

关键词： 非负矩阵   不可约矩阵   最大特征值   估计式  

摘要： 非负矩阵理论是数学学科代数中最活跃的研究领域之一,在人口统计学、数值分析、计算机科学、动态规划等领域中具有重要的应用价值。本文基于Perron-Frobenius定理对非负不可约矩阵的最大特征值上下界的问题展开研究。本文的主要内容安排如下:第一章介绍非负不可约矩阵谱半径的研究背景,以及国内外研究的现状。第二章介绍非负不可约矩阵的一些基本定义、基本定理以及一些非负不可约矩阵的常用的算法。第三章给出一种估计非负不可约矩阵最大特征值的新方法。对于非负不可约矩阵A =(αij)n×n,通过构造新矩阵B =（A2 +α1I +A）n-1和C=（A2-α2I +A）n-1,利用新构造矩阵的行和与列和,得到了非负不可约矩阵最大特征值的上下界的估计式:并用算例验证了用新的估计式所得结果比文献[16-19]的结果更加精确。第四章在上一章给出的非负不可约矩阵最大特征值的新估计式的基础上,利用构造的新矩阵B和C,进一步推导出非负不可约矩阵最大特征值的一个上下界的极限估计式:（?）并且从理论上证明了该极限估计式。

关键词： 密码学   外包计算   矩阵运算   盲化技术   可证明安全  

摘要： 云外包作为热点研究课题,利用云上无限计算资源和存储资源完成高代价计算任务。但云内部操作细节是不透明的,使云服务器存在不诚实行为。所以,云环境中的隐私安全、内容安全是急待解决的问题。基于各种科学运算,矩阵运算是数值分析领域的重要问题,许多密码方案、多维图像处理计算问题都涉及矩阵计算。针对本地计算能力有限的云用户,独立完成高维矩阵运算非常困难。基于这一问题提出了矩阵乘积的高效、可验证、安全外包计算方案。在云外包计算的现有研究中,多数采用盲化技术和密码学原语技术(全同态加密、加法同态加密、乘法同态加密等)研究。本文研究对象是高维矩阵并利用这两种技术研究,提出了三个矩阵乘积外包方案。一、为实现矩阵外包的可验证和高效性,本方案先利用几何学中的分割与填补思想对参与运算的矩阵进行预处理。在预处理阶段,根据矩阵的维数将预处理阶段划分成四个分支进行分析归纳,再利用置换处理技术和可逆矩阵技术实现进一步盲化形成新的矩阵对序列。将新的矩阵对序列外包给云服务器处理,再返回数据时,必须对返回数据进行验证,通过则完成一次外包过程。同时,对该方案的正确性、合理性、隐私性、可验证性进行分析。最后与近几年使用盲化技术构造的矩阵乘积外包方案做对比分析。二、为实现矩阵外包的可验证和安全性,基于身份的加密方案,提出一个优化验证计算量的CCA矩阵乘积外包方案。对参与运算的矩阵进行加密处理形成新的密文序列对,然后外包给云服务器,云服务器处理接收的数据时,需进行两次运算操作。第一次乘法运算是为了获得矩阵乘积结果。第二次对运算是为了简化用户验证时的计算量。同时,该方案是基于判定性双线性假设,利用可证明安全的相关理论知识,对该方案的安全性进行证明。最后,对比分析利用密码学原语构造的矩阵乘积外包方案。三、为了缩短用户使用密码学原语构造矩阵外包方案密文长度问题,提出了一个缩短密文长度的CCA安全矩阵外包方案。结合一个提前预知的单射函数,对矩阵分别进行加密,形成矩阵对序列并外包给云服务器,云服务器接收数据后,只进行一次乘法操作。云服务器再将密文返回给用户,用户通过验证即完成整个外包过程。同时,该方案基于双线性假设,利用可证明安全的相关理论知识,对该方案进行安全性分析和证明,并进行比较分析。终上所述,本文矩阵外包方案的适用范围更广,不仅局限于方阵运算,更适用非方阵运算。本文方案可以应用到在图像处理、科学计算、以及电子图片等领域的矩阵数据处理过程中。

关键词： 低频振荡   特征值灵敏度   数值微分   批量化计算   并行计算  

摘要： 随着互联电网越来越多以及电力系统运行方式复杂度不断增大,小干扰稳定问题日益凸显。特征值灵敏度定量地给出了参数变化时对低频振荡的影响程度和变化趋势,为直接调整系统参数来抑制相关低频振荡模式提供了参考依据。目前,解析灵敏度法基于严格地数学推导,应用较广,但其分析结果依赖于系统模型,当系统模型不准时解析法计算结果将不适用。为克服上述问题,本文提出了基于数值微分方法实现对大电网特征值灵敏度计算,并对此展开了研究,主要工作如下:1)系统地研究了差商法、插值法和改进正则化法这三种数值微分方法的原理,从特征值样本点的摄动步长影响和测量误差影响两方面综合分析它们的计算性能。2)在现有的电力系统仿真软件PSD-BPA基础上,设计了基于数值微分的大规模电力系统特征值灵敏度计算步骤,实现了大电网特征值对相关系统参数灵敏度的批量化计算。此外,论文还提出了通过调整相关机组出力以增强低频振荡阻尼比的方案。最后,通过实际大电网算例验证了基于数值微分的特征值灵敏度法的有效性。3)为进一步提高计算性能,论文最后提出了一种基于多线程编程(一种易上手的PC并行技术)的并行计算初步方案,并对方案的计算加速效果进行了调研。

关键词： 推荐系统   协同过滤   后验概率   特征向量   k-SVD  

摘要： 随着互联网的迅速发展,网络信息也呈现指数型增长,信息超载已成为人们每天都要面对的问题。基于协同过滤的推荐系统是一个很有潜力的解决信息超载问题的方法,可以使得人们能够更加准确的获取自己希望得到的信息。协同过滤推荐算法之所以能够取得很大的成功,主要是利用用户评分矩阵来寻找指定用户的相似用户,这比传统的基于内容的推荐方法来寻找相似用户更加准确。然而,协同过滤算法也存在一定的局限性,用户评分矩阵是稀疏矩阵,如何利用稀疏矩阵计算指定用户的相似用户进而完成该用户的推荐成为协同过滤推荐算法的主要问题。本文首先介绍了推荐系统的背景及主流的核心推荐算法,通过对传统的推荐算法与协同过滤推荐算法的比较,可以看出协同过滤推荐算法的优势。其次,本文针对协同过滤推荐算法中的稀疏矩阵问题,分别使用统计量填充、机器学习填充、SVD分解填充来解决,通过在推荐时间和准确率这两个维度评判标准下,没有都达到很好的效果。然后,本文首次提出基于K-SVD分解的协同过滤推荐算法,该推荐算法直接利用用户特征矩阵计算用户之间的相似度,利用电影特征矩阵来计算电影之间的相似度,进而利用协同过滤算法完成推荐。与基于机器学习填充的协同过滤推荐算法相比,有效的避免了因为稀疏矩阵的填充带来的误差;与基于SVD分解的协同过滤推荐算法相比,保留了更多的信息,有效的避免了信息丢失问题。最后,通过各个不同协同过滤推荐算法的推荐结果,从时间维度和准确率角度验证了基于k-SVD的协同过滤推荐算法的效果。

关键词： 无符号Laplacian矩阵   独立数   单圈图   无符号Laplacian特征值  

摘要： 图的谱理论主要是利用代数理论和技巧,结合图论和组合数学的理论研究图的特征值,图的结构性质及图的不变量(如色数,独立数,直径,围数,匹配数等)之间的关系,其中一个主要研究问题是图的性质能否以及如何由图的矩阵,如图的邻接矩阵,Laplacian矩阵,无符号Laplacian矩阵等的代数性质反映出来.图G的无符号Laplacian矩阵Q(G)定义为图的度矩阵D(G)与邻接矩阵A(G)之和,Q(G)的特征值称作图G的无符号Laplacian特征值,其中Q(G)的最大特征值称为图G的无符号Laplacian谱半径.本文主要研究图的前k大无符号Laplacian特征值之和.具体内容分述如下:第1章是对本文所研究的问题的背景和意义以及所得结果的一个综述.在第2章中,我们考虑Brualdi和Solheid[1]提出的关于谱的极值问题:给定一个图类g,在g中刻画谱半径达到最大时的极图.本章我们主要研究了给定点数和独立数的单圈图的无符号Laplacian谱半径.通过引入图的若干移接变形,探讨这些图运算对无符号Laplacian谱半径的影响,刻画了其无符号Laplacian谱半径达到最大时的极图.在第3章中,我们通过研究Ashraf,Omidi和Tayfeh-Rezaie[2]中提出的关于前k大无符号Laplacian特征值之和的猜想,分别得到了给定直径或最大度的图的前k大无符号Laplacian特征值之和的上界,也研究了前k大无符号Laplacian特征值之和与图的围长与匹配数的关系,同时得到了猜想成立的一些充分条件.最后,对本文的主要研究内容进行了总结.

关键词： 欠定盲分离   源数目估计   混合矩阵盲估计   相似度检测  

摘要： 针对现有欠定盲分离混合矩阵估计方法中存在的估计精度低以及时间复杂度高等缺点,提出一种基于相似度检测的欠定混合矩阵估计方法.该方法能够在没有任何先验信息的条件下自适应地估计出源信号数目以及混合矩阵,而且不需要进行迭代,时间复杂度低.仿真结果表明,与现有的一些混合矩阵估计方法,如改进K-均值聚类法和拉普拉斯势函数法相比,所提出的方法在源信号数目估计准确率、混合矩阵估计精度以及时间复杂度等方面都具有明显优势.