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关键词： 符号图   p-Laplacian   特征值问题   节点域   Cheeger不等式   张量  

摘要： 图的线性特征值问题的研究主要致力于深入探究图上的线性算子(包括邻接矩阵、Laplacian矩阵及广义Laplacian矩阵等)的特征值与特征函数与图本身固有的组合特性之间的内在联系。这些线性特征值问题的研究在攻克众多公开问题中展现出了不可或缺的核心作用,已成为图论中一个广受关注的研究方向。 与图的线性特征值问题相比,图的非线性特征值问题的研究是一个新兴的方向,主要研究图的p-Laplacian等算子的特征值与特征向量的相关性质。图的非线性特征值问题与机器学习、几何群论等多个领域有着紧密而深刻的联系,是一个极具探索价值的研究方向。 本文对符号图的线性与非线性特征值问题进行了深入的研究。符号图的概念由Harary在研究社会学领域问题时引入。符号图的线性特征值理论在诸如等角线问题、敏感度猜想等重大课题研究中发挥了至关重要的作用。 在线性与非线性特征值方面,我们首先证明了关于符号图p-Laplacian变分特征值的某些函数的单调性。基于该单调性,我们引入了一列称为“截断邻接特征值”的新的图不变量。通过此不变量的研究,我们给出了符号图p-Laplacian特征值的一类新的下界估计以及一个最优的渐近估计。更进一步地,我们建立了关于图的最大独立数和最小边覆盖数的两个非线性惯性界,其中独立数的结果加强了经典的Cvetkovi(?)界。我们讨论了这列截断邻接特征值可以刻画的图类。特别地,我们证明顶点数不超过3的图被其截断邻接特征值完全刻画。 在线性与非线性特征函数方面,我们证明了符号图p-Laplacian的Courant型结点域定理,并得到了非线性特征函数强节点域个数的下界估计。这些结果把Davies、Jost、张栋、Tudisco等人的工作统一到一个框架之下。进一步地,在线性情形,我们通过重新整理Fiedler在1970年代的工作,引入了Fiedler零点的概念,进而给出了一个更精确的强节点域个数下界估计,改进了Berkolaiko、徐浩、丘成桐等人的结果。我们证明了符号图p-Laplacian的节点域形式的高阶Cheeger不等式,将符号图p-Laplacian变分特征值与Atay和刘世平引入的符号图高阶Cheeger常数联系起来。在线性情形,我们通过扰动方法和强节点域个数的下界估计,给出了一种应用圈空间维数的新型高阶Cheeger不等式。这个结果推广了Miclo等人在树上的高阶Cheeger不等式,而且我们的证明更加简短直接。若图的所有边的符号均取-1,则相应符号图的p-Laplacian即为图的signlessp-Laplacian。通过对偶弱节点域个数的上界估计,我们给出了图的signlessp-Laplacian算子的Perron–Frobenius型定理。基于此定理,我们用图的邻接矩阵特征值和特征函数刻画了其signlessp-Laplacian最大特征值和相应特征函数在趋近于无穷时的极限。作为该Perron–Frobenius型定理的另一个应用,我们证明了对二分图而言,其p-Laplacian的最大和次最大变分特征值之间不存在其他特征值。 最后,我们研究了符号图的p-Laplacian特征值问题与张量特征值问题之间的密切联系。我们观察到,在为偶数时,符号图的p-Laplacian特征值问题等价于一个张量特征值问题。在理论层面,这一发现推出了为偶数时,符号图的p-Laplacian特征值个数有限。一般情形符号图的p-Laplacian特征值个数是否有限还是公开的。在计算层面上,这一发现使得我们能够采用张量特征值或特征函数的数值计算算法,来有效地求解符号图p-Laplacian的特征值问题。在为非偶数时,我们借用张量分析的幂方法,提出了一个计算图的signlessp-Laplacian最大特征值及其特征函数的高效算法。我们讨论了此算法在禁止子图型问题上的应用。

关键词： Arakelov几何   行列式方法   高度   有理点  

摘要： Arakelov几何是一种将代数几何与复几何等结合起来的数学理论,可用于研究某些数论问题。设X是代数数域K上的射影簇,S(X;B)={ξ∈X(K)|HK(ξ)≤B}.在研究#S(X;B)一致上界时,行列式方法是一个非常有效的研究工具。本文的核心在于使用Arakelov几何工具重建了一个一般版本的行列式方法,使得我们可以在应用中更容易调整辅助超曲面的个数。本文的主定理对于研究维数增长猜想和#S(X;B)的一致上界问题等具有重要作用。 本文介绍了经典高度函数的定义及其基本性质,并利用Arakelov几何理论重新定义了高度函数并研究了相关性质,并通过具体例子展示了新定义与经典定义之间的联系。基于以上预备工作,本文使用Arakelov几何重建了一个更一般版本的行列式方法,丰富了这方面的研究成果,具有更加广泛的应用前景。

关键词： 演化博弈   零行列式策略   复杂网络   演化动力学  

摘要： 博弈论为研究合作机制提供了分析框架,揭示了理性个体在竞争环境中通过规则设计、声誉机制和重复博弈实现合作均衡的内在机理。在博弈论的基础上研究合作机制,揭示了在竞争与冲突中如何通过规则设计、声誉积累和长期互动实现合作均衡。基于复杂网络的合作动力学研究进一步表明,拓扑结构能引导个体突破短期自利局限,促成全局优化决策。零行列式策略凭借其单边控制实现收益线性关联的独特优势,已成为演化博弈研究的前沿方向。然而,经典博弈难以刻画现实社会交互中普遍存在的复杂网络拓扑效应。本文融合复杂网络科学、演化博弈论与控制理论,构建网络化演化博弈模型,通过引入异构网络结构与自适应策略更新规则,系统揭示合作涌现的动力学规律,为复杂社会系统中的合作调控提供新范式。主要研究内容和创新点包含以下两个方面: (1)探讨了复杂网络中不同更新规则影响下零行列式策略的演化博弈动力学。基于囚徒困境与雪堆博弈,构建了适应度驱动的演化动力学方程,重点解析了无标度网络与规则二维方格网络在零行列式策略作用下的演化均衡特性。理论推导表明,在比较更新规则中,合作者表现出稳态优势;而死-生更新机制下,无标度网络中,敲诈策略表现出入侵特征。通过模型参数分析,进一步揭示了敲诈因子对合作演化的调控作用呈现规则性,为阐释复杂社会网络中合作行为的涌现机制提供了理论依据。 (2)提出了在高阶网络中不同零行列式策略之间的竞争与迭代的博弈动力学模型。基于两人迭代捐赠博弈与多人迭代公共物品博弈,分别刻画了在1-单纯形和2-单纯形网络中节点的交互过程。通过对单纯复形网络迭代博弈策略的演化进行建模与分析,结果表明,在单纯复形网络中引入敲诈和慷慨策略对网络合作的影响是不同的,敲诈对合作的促进作用比慷慨对合作的促进作用更为明显。此外,合作者与敲诈者更容易形成联盟来抵抗背叛策略,同时,慷慨行为在特定条件下对于维持和促进合作也具有重要作用。 本文中构建的模型及结论为研究个体的合作演化规律提供了重要的参考,有助于解决探讨比如蜜蜂与开花植物的协同作用、“公共池塘资源”治理模式等现实生活中的合作机制。

关键词： 随机博弈   网络重复博弈   零行列式策略理论   收益关系  

摘要： 博弈论作为研究决策主体在互动环境中策略选择与结果预测的重要理论工具,其核心模型在动态决策、策略优化及多方协调等领域具有广泛的应用价值。在电力系统动态调度、资源分配和网络安全等复杂系统场景中,随机博弈和网络重复博弈作为两类重要模型,分别从外部环境不确定性和网络结构复杂性两个维度,刻画了现实世界中决策主体面临有限资源时的协作挑战。其中,随机博弈中参与者的收益同时受到自身策略选择和外部随机因素的影响,而网络重复博弈中参与者的决策则与网络拓扑结构及其相邻节点的行为密切相关。这两类模型所呈现的复杂动态特性,使得长期博弈过程中的收益控制、系统稳定性维持和收益预测成为关键科学问题。本文基于零行列式策略理论,分别在随机博弈和网络重复博弈两类重要模型,研究了收益控制问题。具体包括以下内容: 首先,在随机博弈方面,通过构建特定形式的博弈环境转移向量,提出了一种基于均衡器转移规则的收益控制方法,证明了该方法能使玩家在面对外部随机性时仍保持对对手收益的有效控制,并确定了均衡器转移规则的参数可行范围,进一步地在随机演化博弈中验证了该方法的鲁棒性,表明群体平均收益可被有效控制在预设值,且这一性质不受演化参数变化的影响。 其次,在网络重复博弈方面,针对群体收益控制难题,创新性地提出了基于均衡器策略更新规则的收益控制机制。通过设计统一的策略更新协议,实现了网络中所有参与者收益的同步控制,使网络整体收益趋于固定值。研究发现,策略更新向量的结构仅取决于全背叛状态下的合作概率p0D、影响概率跨度的差异l以及比例系数φ三个自由参数,其中关键参数φ不仅影响网络收敛速度,还调节个体平均收益的分布特性。通过在典型正则网络,如环形网络、方格网络以及度为4的随机网络中进行仿真实验,验证了所设计均衡器策略更新规则在正则网络中的有效性。 研究结果表明,本文提出的方法能够有效应对随机性和网络复杂性带来的收益控制挑战,为零行列式策略理论在复杂博弈环境中的应用提供了实证支持。这些成果不仅为博弈收益优化与长期合作提供了新的理论工具,也为博弈论在动态决策与复杂系统领域的进一步发展提供了新思路,同时对电力系统调度、网络安全等实际应用中的策略设计具有重要指导意义。

关键词： 美国红枫(Acer rubrum L)   叶色参数   色素含量   呈色机理  

摘要： 为探究美国红枫（Acer rubrum L.）不同叶色的呈色模式与色彩参数之间的关联，本研究以绿色系、橘色系和红色系等美国红枫不同颜色叶片为试材，利用通径分析及拟合方程对其色素含量及呈色模型进行分析。结果表明：在美国红枫叶色由绿色到红色的转变过程中，参数值a?均呈现逐步增大的趋势，总叶绿素逐步降解，花青素含量逐步上升。a*值（红/绿）与叶绿素a、叶绿素b、叶绿素（a+b）、类胡萝卜素呈极显著负相关，与花青素呈极显著正相关，与可溶性糖不存在显著相关性，说明总叶绿素含量的降解与花青素含量的上升共同促进了叶色变红。通径分析结果表明，不同色彩值参数变化的主导色素及作用方式均存在较大差异，影响L*值的主导因素为叶绿素b和花青素，主要作用方式为叶绿素b、花青素分别通过总叶绿素的间接作用，叶绿素b为正向作用，花青素为负向作用，偏相关系数分别为0.370和-0.820，通径系数分别为-56.452和47.211；影响a*值的主导因素为叶绿素b通过总叶绿素的间接作用和总叶绿素的直接作用，偏相关系数分别为0.159和-0.156，通径系数分别为-20.763和-24.196；影响b*值的主导因素为类胡萝卜素和花青素，偏相关系数分别为0.262和-0.792，两者都通过总叶绿素的间接作用共同影响，通径系数分别为-37.720和31.779，说明叶片色彩色彩呈现既与色素含量积累有关，同时受不同色素颜色相互叠加影响。通过回归分析，确定了色彩参数与色素含量之间的数量关系，并验证了呈色模型的有效性。研究结果为彩叶树种呈色及良种选育提供了理论基础和科学依据。

关键词： 参数网络   RDMA交换机   交换机部署   智算中心  

摘要： 随着生成式人工智能(AIGC)技术的发展,各类大模型层出不穷,而智算资源池网络是进行模型训练的关键环境。如何快速搭建、部署一个规模化的智算中心网络是能否快速形成大模型应用能力的关键一步。本文提出了一种基于矩阵运算的智算中心参数网络部署方法,通过矩阵运算的方法实现智算资源池中参数平面的交换机之间、交换机和服务器之间的快速匹配,将组网模式标准化,极大地提升了部署参数网络的效率。

关键词： 自然语言处理   短文本   义原   协同注意力   字词向量  

摘要： 短文本语义匹配任务的目的是判断两个短文本句子的语义是否一致。然而,现有的许多方法往往存在短文本语义信息不足、无法有效识别同义词等问题。针对这些不足,提出一种融合义原相似度矩阵与字词向量双通道的短文本语义匹配策略。首先,利用预训练模型Bert对输入的句子对进行编码;然后,对于句子中词级别的语义信息,利用FastText模型训练并获取文本的词向量,并加入BiLSTM模型进一步提取上下文语义信息。为了有效利用义原信息,在上述的双通道中分别加入多头注意力和用于对分离向量进行交互计算的协同注意力,并在注意力中分别融入对应的义原相似度矩阵,最后综合上述两部分向量推断出语义的一致性。在金融领域数据集BQ和开放域数据集LCQMC上的实验证明了所提算法的有效性。

关键词： 矩阵的和   行列式   降阶公式  

摘要： 给出了一个行列式降阶公式的新证明,以及一个新的两方阵和的行列式降阶公式,并讨论了它与几个常见的行列式降阶公式之间的联系。

关键词： 线性代数   Geogebra软件   行列式   可视化  

摘要： 在“线性代数”教学中,行列式是非常重要基础的知识。由于传统的教学采用灌输式教学,直接介绍定义和计算,因此,学生会觉得行列式知识抽象难以理解。Geogebra是一款强大的动态数学软件,它可以直观、动态、交互地演示数学知识。借助Geogebra动态教学软件,对“线性代数”行列式的定义和性质的几何意义进行可视化教学设计。旨在通过直观形象的教学,解决行列式抽象难懂的问题,加深学生对行列式的理解,为后续掌握矩阵、线性方程组和特征值的内容打基础。

关键词： 特征值   特征向量   案例教学   雨课堂  

摘要： 特征值与特征向量是两个既抽象又应用广泛的概念,若只专注于理论内容的讲授,忽视其在实际应用中的背景和意义,则学生会对理论知识感到难以理解,从而失去学习的兴趣和热情,继而影响后续课程的学习。以雨课堂教学平台为基础,采用课程思政融入基础课教学的方法,将矩阵的特征值和特征向量与离散动力系统联系起来,以捕食者-食饵系统为应用案例,引导学生分析实际问题并建立相应的数学模型,然后通过矩阵特征值与特征向量来求解数学模型,从而加深了学生对基本理论知识的理解,提高了学生课堂参与度,达到了很好的教学效果。