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关键词： 对流扩散特征值问题   局部间断有限元方法   先验误差   后验误差   自适应计算  

摘要： 对流扩散方程在许多领域都有着广泛的应用,描述了流体的流动、热传播、地下水运输、大气污染等自然现象,由于对流扩散方程在求解时一般都不能够得到精确的解,所以研究其对高效和稳定的数值解法以及其误差估计是存在一定实际应用价值的。对流扩散特征值问题的数值方法是现在许多科学技术人员的重点研究方向。一般情况下方程中的扩散项在物理过程中起着主导作用,采用标准的有限差分方法以及有限元方法进行求解就可以得到很好的数值结果,如果是对流项变成了主导位置,即对流的影响远大于扩散的影响,这会使得在数值求解过程中增加了许多的难点,如数值震荡,数值的过度扩散等问题。 局部间断有限元方法相比于传统有限元方法和有限差分法可以直接应用于非结构化网格,更好的去处理复杂几何区域,更好地控制数值耗散和数值扩散,从而提高方案的稳定性和精度。本文研究了对流扩散特征值问题的自适应局部间断有限元方法,在文中给出了先验误差估计和后验误差估计,分析了特征函数估计子的有效性和可靠性,从而进行了相应的自适应数值实验,通过数值实验结果分析可以得到该算法是有效的且有着较高的精度。

关键词： 物理信息神经网络   微分方程   特征值问题  

摘要： 微分方程特征值问题在工程和科学研究中具有广泛应用,但其求解过程往往面临高维、非线性和大特征值等挑战。物理信息神经网络(Physics-Informed Neural Networks,PINN)作为一种新兴的数值方法,通过将物理方程和边界条件嵌入神经网络的损失函数中,避免了传统网格划分的复杂性,展现出强大的函数拟合能力。然而,PINN在处理高维、非线性和大特征值问题时仍存在局限性。本文针对这些问题,提出了一种改进的PINN方法,通过损失函数的无量纲化、二阶段训练法和多尺度优化策略,显著提升了求解效果。本文方法可以求解自伴微分算子的多个绝对值最小特征值、求解离初始值最近的特征值问题、重特征值问题和非线性特征值问题等。 本文首先系统梳理了神经网络的核心理论,重点分析了物理信息神经网络与神经网络在损失函数构造上的区别,并探讨了超参数的定义与优化方法。随后,针对单个特征值问题,提出了基于瑞利商与归一化条件的损失函数构造方法,通过无量纲化处理降低了权重敏感性,并结合二阶段训练法和多尺度方法优化训练过程,有效解决了大特征值、非线性特征值问题。进一步地,本文扩展至多特征值场景,通过引入正交性约束和改进损失函数设计,实现了多个特征值与特征函数的同步求解,并保持了算法的高效性。最后,本文通过一系列数值实验验证了所提方法的有效性。在一维、二维正方形区域及L形区域中,本文方法求解自伴微分算子的多个绝对值最小特征值、非线性特征值、求解离初始值最近的特征值及重特征值时,相较于现有方法精度更高,收敛速度更快,为微分方程特征值问题的求解提供了新的高效工具。未来研究将进一步探索非自伴算子的特征值问题。

摘要： 解二元一次方程组的基本思路是消元,常用的方法有代入消元法和加减消元法.这两种方法都是通过先消去方程中的一个未知数将解二元一次方程组问题转化为解一元一次方程问题来求解.那么,消去哪个未知数,用什么方法消元呢?这些问题都会影响解题的速度和准确率.因此,同学们在解题中应根据方程组的特点灵活选用最恰当的消元方法,使计算过程更简捷.

关键词： 超低频振荡   特征值轨迹   多项式逼近   强模态共振  

摘要： 随着“双碳”目标的推进,我国新能源规模快速增长,风电与水电经直流外送系统有望成为解决新能源消纳与跨区输送的有效手段。但水轮机固有的相位滞后特性和风电的频率控制可能导致系统阻尼为负,进而引发超低频振荡问题。然而现有研究多聚焦于单一能源(水电或风电)的参数对超低频振荡的影响,缺乏风电和水电对超低频振荡的相互作用分析。因此,研究超低频振荡模态中风电、水电参数的耦合特性,对于保障新型电力系统的稳定性具有重要意义。本文主要研究工作如下: 首先,构建风、水电经直流外送系统的频率动态模型。具体包括双馈风机模型,含水电、火电机组的原动机-调速器模型以及柔性直流输电系统的VSC-HVDC模型。通过统一频率模型和阻尼转矩法分析水电机组和双馈风机产生超低频振荡的机理,得到影响超低频振荡模态的重要参数。 其次,采用全局多项式逼近法,将超低频振荡模态特征值轨迹与关键参数间的非线性关系显式表征。并从多项式中提取可用于参数灵敏度分析的Sobol指标。通过该指标筛选对超低频振荡模态影响程度高的风机参数和水机参数的耦合项。基于特征值轨迹研究耦合参数对超低频振荡模态的影响,结合阻尼转矩法揭示参数耦合关系的物理机制和动态影响。 最后,针对水电和风电主导超低频振荡模态之间可能发生强模态共振现象,提出一种基于变量变换的特征值轨迹对显式表征方法。通过对原始的特征值与特征向量进行变量变换,构造出共振问题的光滑描述模型,从而避免特征值重合点处的奇异情况,实现对超低频振荡模态特征值轨迹的准确逼近。并基于计算得到的特征值轨迹,分析共振模态的稳定性。算例仿真与数值验证结果表明,该方法能够准确捕捉特征值轨迹的突变特征,显著降低共振点附近的逼近误差,为发生强模态共振的特征值轨迹对与参数间关系提供一种量化分析手段。

关键词： 特征值梯度   信源数   半谱搜索  

摘要： 针对传统子空间类波达方向(Direction of Arrival,DOA)估计算法需已知信源数目,以及计算复杂度高的问题,提出一种基于特征值梯度跃变的半谱搜索DOA估计算法。该方法首先利用接收信号协方差矩阵及其复共轭构建新矩阵,同时引入扫描源,构造了以扫描角度为变量的全新协方差矩阵,并对构造的协方差矩阵进行特征值分解,利用信号子空间与噪声子空间特征值间的功率差异,构造特征值梯度判别函数;通过检测该函数极大值点,实现信源数目的自主估计。该方法基于信号与噪声特征值功率强度的差异分界特性,以特征值梯度变化作为判定依据,无需信源数目的先验知识。随后,将估计的信源数目与低复杂度半谱搜索谱函数结合,在降低计算复杂度前提下,有效提升了复杂环境下(如包含对称角、0°入射角)的DOA估计精度。数值仿真结果证明了本算法在均匀线阵下具有鲁棒性。

关键词： 对称张量   lk,s-奇异值   z-特征值   zp-特征值   正定性判定  

摘要： 张量的lp/2,q-奇异值、z-特征值和zp-特征值在偶次齐次多元多项式的正定性判定、固体力学中的强椭圆性条件判定和量子力学中的多体纯态量子纠缠的几何测度估算等问题中有着重要应用。本文研究了张量lp/2,q-奇异值、z-特征值和zp-特征值的定位(分布、估计和计算)问题,给出了张量lp/2,q-奇异值、z-特征值和zp-特征值的定位集,并由这些定位集得到了实对称张量正定性的判定准则、强椭圆性条件成立的准则、量子纠缠的几何测度的下界等。具体研究结果如下: 针对矩形张量lp/2,q-奇异值的定位问题,首先定义了矩形张量的lp/2,q-奇异值;其次,构造了lp/2,q-奇异值的一个含有参数向量的定位集,并通过找到最优参数给出了最优参数定位集;随后,由最优参数定位集得到了实对称矩形张量正定性的判定准则;然后,提出了低阶低维矩形张量所有lp/2,q-奇异值的直接计算方法;最后,通过数值算例对所得理论结果进行了验证。 针对一般张量z-特征值的定位问题,首先通过寻找张量z-特征值的已有含参数向量定位集的最优参数,给出了最优参数定位集,并由最优参数定位集得到了实对称张量正定性的判定准则;其次,利用z-特征向量的任意分量乘积的上界和不等式放缩技术,构造了z-特征值的定位集,并由该定位集得到了张量z-谱半径的上界;最后,通过数值算例对所得理论结果进行了验证。 针对一般张量zp-特征值的定位问题,首先给出了非负张量zp-特征值的Perron-Frobenius定理;其次,给出了 一般张量zp-谱半径的上界;随后,给出了非负不可约张量正的zp-特征向量的最大分量和最小分量之比的下界;最后,通过数值算例对所得理论结果进行了验证。

关键词： 自同构群   特征值   主多项式   特征多项式   正交矩阵  

摘要： 图的自同构群与特征值研究是图论领域的重要分支,具有丰富的理论内涵和广泛的应用前景。一个图的自同构群是由所有保持图的邻接关系的自同构组成的群,它刻画了图内在的对称程度。在图论中建立自同构群Γ(G)和图G的特征值之间的联系是一个经典问题。1980年,Criscuolo等人证明了图G自同构群阶的上界为2k-1,其中k是χ(G;x)在有理数域Q上的不可约因子的个数,图G所有特征值都是简单的。 本文主要是对Criscuolo等人的结果进行改进。我们引入与图G相关的平坦多项式,它被定义为特征多项式与主多项式的商。对于一个图G其平坦多项式是无平方的,我们建立了其自同构群阶的上界,该上界与平坦多项式在有理数域Q上不可约因子的数量有关。 记图G的平坦多项式为v(G;x)=χ(G;x)/μ(G;x),本文研究了对于一个具有无平方平坦多项式的图G,其自同构群阶的上界的问题。具体结果如下: 1.设G是一个具有n个顶点的图,并且v(G;x)是无平方的。假设v(G;x)在有理数域Q上具有标准因子分解:v(G;x)=p1(x)p2(x)…ps(x), 其中不可约因子满足degp1(x)≤…≤deg ps(x)。定义τ=max {t:1≤t≤s 且(?)degpi(x)≤n/2} 则图的自同构群Γ(G)是一个阶数至多为2τ的初等阿贝尔2群。 在对自同构群的自然推广下,平坦多项式v(G;x)的不可约因子的数量与新群的阶之间存在直接联系,其结果如下所示: 2.设F是实数R的一个子域,G是一个具有n个顶点的图,并且v(G;x)是无平方的。则ΓF(G)是一个阶数为2s的初等阿贝尔2群,其中s是平坦多项式v(G;x)在F上的不同不可约因子的数量。 本文还研究了广义道矩阵下图的自同构群的上界问题。

关键词： m阶对数型拉普拉斯算子   狄利克雷特征值问题   计数函数  

摘要： 本文介绍带m阶对数型拉普拉斯算子Lm的狄利克雷问题: 其中算子Lm满足F（Lm）(ξ)=（2log|ξ|）m,这里F表示傅里叶变换.我们获得了上述问题（0.0.1）特征值的计数函数极限,并对第k个特征值的下界做了估计.众所周知,分数阶拉普拉斯算子是非局部算子的典型代表,它关于阶“s”的泰勒展开为: 其中Lm是m阶对数型拉普拉斯算子,u∈Cc2（RN）,x∈RN事实上,Lm可以看作是分数阶拉普拉斯算子的m阶导数,即Lm=dm/dsm（Δ）s|s=0=0+.该算子是一个非正定的且具有极弱微分性质的非局部算子. 下面,我们介绍本文的结构. 在第一章中,我们阐述了本文的研究背景和主要结果. 在第二章中,我们给出了 m阶对数型拉普拉斯算子的显示表达及其在球上的第一特征值. 在第三章中,我们研究了问题（0.0.1）的特征值的计数函数,获得了其上界估计及极限. 在第四章中,我们分析了问题（0.0.1）第k个特征值的性质和下界估计.

关键词： 重调和特征值方程   间断有限元方法   后验误差分析   自适应算法  

摘要： 重调和特征值问题是一个典型的四阶偏微分方程,是弹性薄板、生物、物理等领域的重要偏微分方程模型,其高效数值求解一直是相关领域研究的热点和难点。间断有限元方法具有较高的网格可塑性和适应性,这使其可以达到任意高阶的精度,易于与其他的数值方法相结合,且能较灵活地处理复杂的边界问题,从而成为了求解各类偏微分方程和实际问题的一种重要数值方法。而自适应算法能对网格进行动态调整,以此来提高精度及计算效率,且实现对计算资源的优化使用,特别是在具有复杂边界条件的问题处理中,能更精确地抓住问题的关键特征。因此在本文中,我们利用间断有限元自适应方法来研究具有简支边界条件的重调和方程的特征值问题,为简支边界下求解重调和特征值问题提供了一种有效的方法和理论参考,根据非连续性Galerkin离散化思想,我们引入了一个基于残差的后验误差指标,获得了该方法的后验误差估计结果。并且在一个自适应网格加密程序中验证了该指标的有效性,使其达到了最优的收敛阶。