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关键词： 压电型张量   C-特征值   四阶部分对称张量   M-特征值   M-谱半径  

摘要： 结构张量特征值能够揭示多维数据的内在结构和特性,为多维数据的处理和分析提供新的视角和方法.压电型张量和四阶部分对称张量作为两类典型结构张量,其特征值在电子工程、材料科学等领域有着重要应用.随着维数的增加,这两类结构张量的特征值求解仍然面临着诸多挑战,制约了其发展和应用.为此,本文研究压电型张量C-特征值和四阶部分对称张量M-特征值的定位问题.主要研究内容如下: 针对压电型张量C-特征值的定位,提出两类压电型张量C-特征值定位集.首先,利用定义式提出新的压电型张量C-特征值定位集.进一步地,将所提定位集与现有定位集进行理论比较,证明所提定位集的优越性;其次,通过将集合[n]={1,2,...,n}分成相关子集S和(?),提出两个新的C-特征值S-型定位集,并进行理论比较.最后,通过数值算例证明所提定位集的有效性. 针对四阶部分对称张量M-特征值的定位,利用定义式提出一类四阶部分对称张量M-特征值定位集.首先,提出两个新的四阶部分对称张量M-特征值定位集.进一步地,给出所提定位集和已有定位集的比较定理,结果表明所提定位集比现有定位集结果更为精确;在此基础上,给出四阶部分对称张量更紧的非负M-谱半径的上界.最后,通过数值实验证明定理的有效性.

关键词： 轨道交通   减振降噪   阻尼结构   动刚度法   改进幅角算法   频变阻尼特性  

摘要： 阻尼结构能够衰减系统的振动,在轨道交通车辆中应用广泛,对减少结构共振、降低结构辐射噪声等发挥着重要作用。然而,有限元方法在处理复杂阻尼结构时,存在难以准确表征频变阻尼特性、建模自由度多、计算效率低等问题。此外,阻尼结构的复模态分析涉及复数特征值问题,常用求解方法在精度和效率上存在局限性。建立高精度、高效率的动力学模型,开发稳定可靠的求解算法对阻尼结构的研究具有重要意义。基于此,本文提出了一套高效、精确的阻尼系统动力学分析方法,重点研究阻尼结构动刚度建模理论及针对动刚度模型复模态分析的复数超越特征值求解算法。本文的主要研究内容如下: (1)考虑阻尼的频率依赖特性,建立了适用于阻尼结构不同设计阶段的两种低自由度动刚度模型。低阶梁极低自由度模型根据广义阻尼模型、欧拉伯努利梁理论,构建了能够采用极少自由度捕捉宽频阻尼特性的动刚度模型,适用于工程结构快速优化及选型。高阶梁精细化模型基于频变阻尼模型、卡雷拉统一方程,构建了能够精准表征结构非经典振动特性的精细化动刚度模型,适用于工程部件结构的精确动力学分析。本文方法和有限元方法的谐响应分析结果一致性很好,且低阶梁模型的计算效率是二维有限元的5倍,高阶梁模型的宽频计算效率较三维有限元提升20倍以上。 (2)针对阻尼结构复模态分析的复数超越特征值问题,开发了改进幅角算法和Sakurai-Sugiura算法。改进幅角算法考虑了动刚度矩阵的极点,通过引入二维二分、自适应步长、数据复用和并行计算技术,显著提升了计算效率和稳定性,适用于中小规模矩阵的精确特征值求解;Sakurai-Sugiura算法能够将复平面区域内的复特征值提取为低阶汉克尔矩阵广义特征值,适用于大规模矩阵的高效特征值求解。结合动刚度模型和复数特征值算法的阻尼结构复模态分析计算效率比有限元高2倍以上,为阻尼结构的动力学优化设计的不同阶段提供了准确、快捷的技术手段。 (3)通过动刚度模型和复数特征值算法,分析了工字梁、阻尼环和列车胶囊风挡结构的动力学性能。本文研究了包含迟滞阻尼层的工字梁和阻尼环的复模态特性,考虑橡胶材料频变阻尼特性的列车胶囊风挡谐响应特性和复模态参数,以及不同设计参数对风挡动力学特性的影响。结果表明,本文方法仅需少量自由度即可精确描述复杂工程结构的动力学行为,为常见工程结构的设计优化提供了理论依据和技术支持。 图57幅,表14个,参考文献149篇

关键词： 奖赏学习   选择性注意   特征值   特征关系  

摘要： 传统注意理论认为,调控注意选择的因素主要有目标驱动的、自上而下的注意,以及刺激物理显著性驱动的、自下而上的注意。然而,近十多年来的大量研究表明,特定刺激与奖赏(如金钱)建立联结后,即使该刺激与任务无关,也不具有物理显著性,奖赏关联刺激仍会自动地吸引注意。这种基于过往经验驱动的注意机制被称作奖赏历史。前人研究将这种奖赏效应归因于训练刺激本身(如颜色)的改变。然而,近期研究发现,奖赏还会基于情境中的刺激间相互关系(如相对颜色)引导注意,但目前对于这种机制在何种情境下产生,是否普遍适用于不同情境仍缺乏了解。近期研究表明,个体在注意加工过程中依赖的目标信息(特征值或特征关系)会依据任务要求的精度而改变,因此,本研究聚焦探讨奖赏学习中目标精度对后续注意选择机制的调节作用。 本研究共包含五个实验。首先采用视觉搜索任务,通过预设的奖赏概率(例如,红色有80%的概率预测高金额奖赏,黄色有20%的概率预测高金额奖赏),让被试建立目标与奖赏之间的联结。在测试阶段考察当干扰刺激的特征值或特征关系与奖赏历史匹配时,干扰刺激诱发的注意捕获效应量。实验间的主要区别在于奖赏训练阶段搜索任务中,目标与干扰刺激的相似性和搜索模式,本研究在实验1a和实验1b的训练阶段采用奇异项搜索任务,分别操控奇异项目标与非奇异项干扰刺激的特征相似性(低相似性:在绿色中搜索红色;高相似性:在橙色中搜索红色)。在实验2a-2c的训练阶段采用特征搜索任务,分别操控目标与干扰刺激的特征相似度。结果发现,奇异项搜索训练任务中,与奖赏匹配的特征值和特征关系均能引发注意效应,该效应独立于搜索情境的相似性程度。在特征搜索训练任务中,与奖赏匹配的特征值均能引发注意效应,但只有当搜索情境中的刺激相似度较低时,与奖赏匹配的特征关系才能引发注意效应。因此,不同训练条件间的差异无法单纯用搜索模式或刺激间相似性解释。鉴于特征搜索在高相似条件下需要更精确的目标选择,本研究结果表明,当训练任务所需的选择精度较低时(奇异项搜索或在低相似的情境中进行特征搜索),奖赏会基于特征关系引导注意;而当训练任务所需的选择精度较高时(在高相似刺激间进行特征搜索),奖赏会基于特征值引导注意。

关键词： 行列式   代数   应用  

摘要： 本文主要利用行列式的性质及计算方法巧妙地解决了一些较难与较繁的初等代数中的问题，如在代数领域中运用行列式进行因式分解，证明等式与不等式，解决数列等问题等领域的应用.

关键词： 二阶椭圆特征值   内罚间断有限元方法   先验误差   二网格离散  

摘要： 本文提出了一种高效的hp型内罚间断有限元方法,旨在求解一类变系数的二阶椭圆特征值问题,并对该问题进行了先验误差分析、二网格方案设计及误差估计. 针对变系数二阶椭圆特征值问题,首先,根据边界条件引入分片函数空间,并定义hp-有限元空间,利用Green定理构造出离散问题的IPDG格式.然后,引入整体间断插值算子对IPDG格式进行稳定性分析.接着,结合Strang引理,对特征值问题的hp误差分析进行了详细的证明.最后,通过数值实验验证了该算法的有效性以及理论分析的准确性. 针对上述特征值问题,沿用之前的理论框架,在先验误差分析的基础上,提出了一种基于移位反迭代的二网格离散化方案,并给出了严格的误差估计理论分析.通过一系列数值算例,结果表明,所提算法合理且具有良好的收敛性.

关键词： 压电张量   C-特征值   特征值最大化   外推法  

摘要： 一个三阶实张量称为压电张量,如果它关于它的后两个指数对称.三阶张量在物理和工程中发挥着重要作用,包括非线性光学、晶体性质和液晶性质等.压电张量在压电效应和逆压电效应中起着关键的作用.通过求解压电张量的最佳秩一逼近可得其最大C-特征值及对应的C-特征向量,而压电张量的最大C-特征值又决定了压电效应中的耦合参数.现有C-特征值的计算方法在高维情形存在不足,例如收敛速度慢以及结果的稳定性和适用性有限. 本论文针对这些问题展开研究,提出一种外推特征值最大化方法,并证明算法全局收敛到一个C-特征值对.此算法每次迭代的主要计算量是计算一个n×n矩阵的最大特征向量. 与文献提出的不进行外推的方法相比,所提出的外推方法在实际晶体张量与大规模随机生成张量的实验上显著减少了迭代步数,提高了算法速度,并且在解的质量上有一定提升.

关键词： 二部图   因子   边数   邻接矩阵   特征值   结合数   韧度  

摘要： 极值图论是现代图论的一个重要分支,主要研究图中存在(或禁用)某些特型子结构时,图参数(如边数、最小度、连通度、结合数、韧度等)的最大值或最小值,并刻画达到这些极值的极图结构.图谱理论是图论中另一个活跃且重要的研究领域,其核心是通过图的相关矩阵的代数性质来刻画图的结构特征.作为图谱理论和极值图论的交叉研究内容,谱极值图论主要研究与图相关的各种矩阵的谱性质,特别是研究给定顶点数并且不含有特型子结构的图集中图的谱半径或其他特征值的最大值或最小值,并刻画对应的极图. 因子理论也是图论的一个重要分支,主要研究图中满足特定条件的子图,这些子图被称为因子.具体来说,因子是图中满足某些预定义的度约束或其他性质的生成子图.因子理论的核心问题是研究图中是否存在某种特定类型的因子,以及如何构造或分解这些因子. 本学位论文立足于图的谱理论与结构理论,以二部图为研究对象,主要研究不含某些特型因子的二部图的极值问题,以及二部图的结构参数与邻接谱之间的关系.具体研究内容如下: 在第二章中,我们研究了二部图中不含{P3,P4,P5}-因子的极值问题.汪泓教授[*** Theory 18(2)(1994)161-167]建立了给定阶数的二部图中存在{P3,P4,P5}-因子的结构性充要条件.基于该结构性质,我们给出了给定阶数的二部图包含{P3,P4,P5}-因子的边条件和谱半径条件. 在第三章中,我们研究了二部图中不含[a,b]-因子的极值问题,其中a ≤b是两个正整数.首先,我们确定了给定两个部集且不含[a,b]-因子的二部图边数的最大值,并刻画了对应的极图.在此基础上,我们确定了给定阶数且不含[a,b]-因子的二部图的最大边数,并且刻画了对应的极图.其次,我们分别确定了给定两个部集和给定阶数且不含[a,b]-因子的二部图谱半径的最大值,并且刻画了对应的极图.最后,当a=b=k时,我们还给出了最小度至少为k的平衡二部图包含k-因子的边条件和谱半径条件. 在第四章中,我们研究了二部图中不含奇(偶)[a,b]-因子的极值问题,其中a,b是有相同奇偶性的正整数且a≤b我们给出了给定阶数、最大度、最小度、边连通度的二部图中包含奇[a,b]-因子或偶[a,b]-因子的邻接谱条件,并且证明得到的界是最好可能的. 在第五章中,我们分别研究了二部图的邻接谱与结合数、韧度之间的关系.设G=(X,Y)是2n阶平衡二部图.胡智全教授、Law教授和臧文安教授[Hu,Law,*** *** Math.27(2)(2013)597-618]引入了 G 的二部结合数b'(G)的概念:如果G=Kn,n,则定义b'(G)=n,否则基于该定义,我们给出了平衡二部图的结合数至少为r的谱半径条件,其中r是正整数.Chvátal 在[Chvá*** Math.5(1973)215-228]中引入了韧度的概念:定义非完全图H的韧度为其中S为点割集且c(H-S)表示H-S的连通分支数;如果H是完全图,则定义t(/H)=∞.基于该定义,我们给出了给定阶数、最大度、最小度、边连通度的二部图的韧度为1的谱条件,并且证明得到的界是最好可能的. 在第六章中,我们总结本文的主要研究内容,并提出进一步研究的问题.

关键词： 四元数   分裂四元数   对偶四元数   特征值问题   四元数矩阵束   分裂四元数矩阵束   实保结构算法   四元数矩阵束的同时对角化  

摘要： 四元数矩阵的右特征值问题,作为复数域特征值理论向高维非交换代数体系的自然拓展,已在多个工业与工程领域展现出广泛的应用价值.该问题不仅为三维刚体运动建模、机器人姿态协同控制以及计算机视觉中的几何计算提供了坚实的数学基础,同时也在量子系统的高维表示、大规模通信中的编码优化、群体智能的分布式算法设计以及深度学习等前沿研究方向中发挥着关键作用.四元数所特有的非交换代数结构与其强大的高维几何表征能力,持续推动着数值代数在理论发展与工程实践中的双重发展.本文采用理论分析与数值计算相结合的研究范式,在四元数矩阵代数的框架下,系统构建了若干类四元数矩阵右特征值问题的代数与数值求解方法.通过数值算例,验证了所提方法在可行性与有效性方面的良好表现,为相关领域的进一步研究与应用提供了有力支撑.全文安排如下: 第一章,主要介绍了几类四元数矩阵右特征值问题的研究背景及四元数的相关基本知识、记号. 第二章,研究了四元数矩阵束的同时对角化问题.首先,严格证明了在特定条件下,四元数Hermitian矩阵束可实现联合相似对角化与联合酉对角化,为广义四元数矩阵特征值问题的求解奠定了理论基础.随后,设计了一种适用于四元数正定矩阵的实保结构Cholesky分解算法,并在此基础上提出了新的四元数矩阵束同时对角化策略.此外,进一步发展了具有实保结构的同时对角化算法,显著提升了数值计算过程中的稳定性与计算效率.最后,将二维四元数线性判别分析(2D-QLDA)建模为一个广义四元数Hermitian矩阵的特征值问题,并将所提出的同时对角化算法成功应用于人脸识别与图像重建等实际任务中.数值实验结果表明,该方法在识别准确性与鲁棒性方面均具有优异性能,验证了其在实际应用中的可行性与有效性. 第三章,研究了四元数Hermitian矩阵主特征值及其特征向量的高效计算方法.首先,基于瑞利商结构,将四元数Hermitian矩阵主特征值问题等价转化为四元数代数上的一个极值优化问题.在此基础上,结合新近发展的广义哈密顿-实数微积分理论(GHR),提出了一种四元数Nesterov加速梯度投影算法用于求解该优化模型.随后,对所提算法进行了收敛性分析,证明了在目标函数为实可微且其梯度Lipschitz连续的前提下,存在严格的二次上界,并由此推导出算法的收敛性理论结果.最后,通过与三种主流算法的对比数值实验,结果表明所提方法在计算精度和时间效率方面均优于现有方法,表现出良好的数值稳定性与实际应用潜力. 第四章,研究了分裂四元数矩阵束的右特征值问题.首先引入分裂四元数矩阵的复伴随矩阵,进而通过求解对应的广义复特征值问题以及有效的分裂四元数向量构造,完成了对原始分裂四元数矩阵束的右特征值问题的求解.同时,针对分裂四元数矩阵束的广义右最小二乘特征值问题,给出了相应的复数求解框架.接着给出了分裂四元数矩阵束的广义标准右特征值的定义,并严格证明了任意n阶的分裂四元数正定矩阵束恰好存在n个广义标准右特征值,且这些特征值均为复数.最后,在广义内积的基础上定义了分裂四元数矩阵束的瑞利商,并研究了其基本性质. 第五章,研究了对偶四元数Hermitian矩阵的特征值问题.首先建立了一个系统的对偶表示理论框架,用于将对偶四元数矩阵同构地映射到对偶矩阵上,这一理论不仅为求解对偶四元数线性系统提供了关键求解工具,也为后续开发具备保结构特性的后验更新算法奠定了基础.在此基础上,提出了一种计算对偶四元数Hermitian矩阵特征值及其特征向量的瑞利商迭代方法(RQI).该方法利用瑞利商的极小残差性质,具有局部高阶收敛的优点.通过数值实验验证,该方法在精度和效率上均优于传统的幂迭代法,其残差误差降低了若干个数量级,充分体现了RQI算法在求解此类特征值问题中的优势. 第六章,对全文进行总结并提出仍需亟待解决的若干问题.