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关键词： 频域有限差分法   Maxwell特征值问题   光波导问题   数值计算方法  

摘要： 本文运用频域有限差分法求解Maxwell特征值问题,并探讨其数值解在光波导中的应用.首先阐述了Maxwell方程组在电磁学中的核心地位以及求解Maxwell特征值问题的重要意义.其次详细介绍了频域有限差分法的基本原理,包括对电磁场分量在空间的离散化处理.通过将该方法应用于特定波导结构的Maxwell特征值问题进行求解,进而得到光波导内部电磁场各分量的数值结果.最后对所得结果进行验证,展示了频域有限差分法在求解此类问题上的准确性与有效性.本文为进一步研究电磁现象、优化电磁设备和光子器件的设计以及相关领域的技术发展提供了理论依据与计算方法支持.

关键词： 双圆盘Bergman空间   Toeplitz算子   特征值   数值域   不变子空间  

摘要： 函数空间上的算子理论是泛函分析方向的一个重要分支,其与微分方程、概率论、复分析、调和分析等数学分支密切相关,并在量子力学、统计学等学科中有着广泛应用,受到众多学者的关注.Bergman空间是函数空间上的算子理论中一类重要的空间,其上有着丰富的研究成果.特别地,加权Bergman空间通过引入加权函数对经典Bergman空间进行拓展,这种拓展丰富了原有空间的结构特征,为函数空间上的算子理论的研究提供了更广阔的空间.Toeplitz算子是函数空间上一类受到广泛关注的算子,其符号函数与该算子性质之间有着紧密的联系,学者们对不同函数空间上带有不同符号的Toeplitz算子的研究在相关领域已取得了丰硕的成果,形成了较为完整的理论体系. 丁宣浩,王章逸,李永宁对于双圆盘Hardy空间上的Toeplitz算子的特征值、数值域及不变子空间问题进行研究,并获得了相关结果.相较于Hardy空间,（加权）Bergman空间是一类更大的函数空间且其中函数具有更复杂的结构特性.本研究将Toeplitz算子的特征值、数值域与不变子空间相关理论拓展至双圆盘Bergman空间,在此基础上进一步将特征值与数值域的研究成果拓展至单圆盘（双圆盘）加权Bergman空间.本文主要内容如下: 1.研究了双圆盘Bergman空间和双圆盘加权Bergman空间上带有有界2-调和符号的Toeplitz算子的特征值和特征向量问题,通过2-调和函数的分解与Berezin变换,解决了其上Toeplitz算子特征值和特征向量相关问题.此外,对于单圆盘加权Bergman空间,研究了带有有界调和符号的Toeplitz算子的特征值和特征向量问题,借助调和函数的分解和Berezin变换,也得到了类似的结果. 2.研究了双圆盘Bergman空间和双圆盘加权Bergman空间上带有有界2-调和符号的Toeplitz算子的数值域的刻画问题.主要利用Toeplitz算子数值域及其二次数值域的性质,并通过符号函数的某种形式刻画了 Toeplitz算子的数值域.此外,对于单圆盘加权Bergman空间,研究了带有有界调和符号的Toeplitz算子的数值域的刻画.借助数值域及其二次数值域的性质,同样通过符号函数的某种形式刻画了 Toeplitz算子的数值域. 3.研究了双圆盘Bergman空间上带有有界重调和符号的Toeplitz算子的不变子空间问题.利用了双圆盘Bergman空间上Beurling型定理和重调和函数的分解,得到了:若w=（w1,w2）∈ D2且φ是有界重调和函数,则所有的Mij=w1iw2jLa2（D2）(i,j∈N)均是Tφ的不变子空间当且仅当φ∈H∞（D2）.

关键词： 反散射中传输特征值问题   非自伴特征值问题   有限元方法   先验和后验误差估计   自适应算法  

摘要： 反散射中传输特征值问题具有广泛的应用.传输特征值能用来估计散射体材料的性质,而且在反散射理论中解的唯一性和重构方面具有重要的作用.由于该问题边界条件的耦合结构,所需H1+r（r>0）正则性估计一般是未知的,这给该问题的数值分析带来了困难.在现有文献的基础上,本文提出并分析了反散射中几类传输特征值问题自适应有限元方法,具体问题为:声波传输特征值问题,修正声波传输特征值问题,弹性波传输特征值问题和流固混合修正传输特征值问题.此外,还研究了非自伴对流扩散界面特征值问题自适应有限元方法的最优收敛性. （1）研究了各向异性非均匀介质声波传输特征值问题协调有限元方法后验误差估计.首先利用T-强制性和谱逼近理论,证明了后验误差估计子对特征函数的有效性和可靠性,以及后验误差估计子对于传输特征值的可靠性.然后基于后验误差估计,给出了自适应算法,通过数值实验验证了算法的有效性. （2）研究了声波传输特征值问题间断有限元方法和自适应算法.针对各向异性非均匀介质声波传输特征值问题,建立其hp型间断有限元离散格式,利用T-强制性得到问题的适定性.然后利用Osborn扰动理论给出了先验误差分析.针对各向同性非均匀介质修正声波传输特征值问题,建立了其间断有限元离散格式.然后,分析了先验和后验误差估计,证明了后验误差估计子关于特征函数误差是可靠和有效的,并分析后验误差估计子关于特征值误差的可靠性.最后,基于后验误差估计,构造了自适应算法,通过数值实验验证了自适应算法的有效性. （3）研究了弹性体弹性张量和质量密度均不同的弹性波传输特征值问题协调有限元方法后验误差估计.首先,利用T-强制性,建立了后验误差公式,然后,分析了后验误差估计子的有效性和可靠性.最后,构造了基于D（?）rfler标记策略的自适应算法,从数值实验上验证了理论结果. （4）研究了流固混合反散射问题中修正传输特征值问题的协调有限元方法.首先建立了协调有限元离散格式,分析了先验和后验误差估计.然后基于后验误差估计,构造了自适应算法,给出了数值实验验证理论分析. （5）研究了非自伴对流扩散界面特征值问题的自适应协调有限元方法的最优收敛性.基于非自伴椭圆微分算子边值问题的误差结果,证明了非自伴椭圆微分算子界面特征值问题的自适应有限元方法收敛性.通过数值算例验证了理论结果的正确性和方法的有效性.

关键词： 压电张量   C-特征值   特征值最大化   外推法  

摘要： 一个三阶实张量称为压电张量,如果它关于它的后两个指数对称.三阶张量在物理和工程中发挥着重要作用,包括非线性光学、晶体性质和液晶性质等.压电张量在压电效应和逆压电效应中起着关键的作用.通过求解压电张量的最佳秩一逼近可得其最大C-特征值及对应的C-特征向量,而压电张量的最大C-特征值又决定了压电效应中的耦合参数.现有C-特征值的计算方法在高维情形存在不足,例如收敛速度慢以及结果的稳定性和适用性有限. 本论文针对这些问题展开研究,提出一种外推特征值最大化方法,并证明算法全局收敛到一个C-特征值对.此算法每次迭代的主要计算量是计算一个n×n矩阵的最大特征向量. 与文献提出的不进行外推的方法相比,所提出的外推方法在实际晶体张量与大规模随机生成张量的实验上显著减少了迭代步数,提高了算法速度,并且在解的质量上有一定提升.

关键词： 特征值   顶点赋权图   块图  

摘要： 代数图论是离散数学的一个重要分支,它通过代数方法刻画和解决图论中的各种复杂问题。图谱理论作为代数图论的核心研究方向之一,致力于将图的代数性质与拓扑性质相结合,利用代数工具深入探讨图的结构特征以及图矩阵的特征值问题。随着信息技术的飞速发展,图谱理论在物理学、化学、生物信息学以及计算机科学等多个领域的应用日益广泛,且其影响力不断增强。图谱理论能够深入揭示图的结构特性,主要通过分析图的不同矩阵(如邻接矩阵、关联矩阵、距离矩阵、拉普拉斯矩阵以及无符号拉普拉斯矩阵等)的代数性质。当前,对于一些简单图的特征值问题已有丰富的研究成果,本文将重点探讨(顶点赋权)块图的特征值问题,并给出相关研究成果。 对图的每一个顶点来说,都对应于一个实数,我们称这个实数为对应顶点的权,图连同它顶点上的权称为顶点赋权图。块是不含割点的最大连通子图,每个块都是团(完全图)的图称为块图。如果一个图的邻接矩阵不包含λ特征值,我们称之为无λ图。本文主要给出了确定无λ(顶点赋权)块图的方法,并刻画了几类无λ的(顶点赋权)块图。具体内容如下: 第一章:绪论。本章主要阐述了图论的起源与发展过程,研究图的特征值问题的意义,并介绍了国内外研究动态,概述了研究内容及结构。第二章:相关定义。本章主要介绍了具体研究对象,给出了一些相关定义。第三章:不含λ特征值的顶点赋权图的研究。本章探讨了含悬挂点的顶点赋权图的奇异性,并给出了一些确定无λ(顶点赋权)块图的方法。第四章:几类不含λ特征值的块图的刻画。本章刻画了几类无λ的块图。第五章:结论。本章总结了全文的主要研究内容,并说明了今后的研究方向。 图[7]表[0]参[85]

关键词： 弥散峰度成像   多线性PageRank问题   对称张量   非负张量   B-特征值   D-特征值   Z1-特征值   直接方法  

摘要： 在医学工程的弥散峰度成像中,弥散峰度张量的最大、最小和平均D-特征值分别对应水分子在生物组织中的最大、最小和平均表观峰度系数。在多线性PageRank问题中,多线性PageRank向量对应随机转移张量的属于Z1-特征值1的非负特征向量。又由于张量D-特征值是张量B-特征值的特殊情形,因此对张量B-特征值、D-特征值和Z1-特征值的计算方法进行研究是有意义的。 本文对张量B-特征值、D-特征值和Z1-特征值的计算方法进行了研究,获得了如下结果: 针对张量B-特征值和D-特征值的计算问题,首先利用张量B-特征值和D-特征值的定义给出了张量所有-特征值和D-特征值的直接计算方法;随后,给出了弥散峰度张量所有D-特征值的直接计算方法;然后,展示了利用多项式的结式和所得直接计算方法对张量所有-特征值和D-特征值进行计算的详细过程;最后,通过数值算例对直接方法的正确性进行了验证,显示了其有效性。 针对张量Z1-特征值的计算问题,首先利用张量Z1-特征值的定义给出了张量所有Z1-特征值的直接计算方法;随后,给出了属于Z1-特征值1的非负Z1-特征向量的直接计算方法;然后,展示了利用多项式的结式和所得直接计算方法对张量所有Z1-特征值进行计算的详细过程;最后,通过数值算例对直接方法的正确性进行了验证,显示了其有效性。

关键词： Dirac算子   旋量丛   特征值   自旋流形  

摘要： 本文研究了等距嵌入欧式空间的紧Riemann流形上Dirac算子的特征值问题,并得到了作用于Dirac不变子丛上的Dirac算子平方的特征值外蕴估计.作为主要结果的一些应用,本文建立了紧子流形嵌入欧氏空间,单位球或射影空间的特征值不等式,从而进一步地得到了一般Reilly型的界.特别地,我们讨论了作用于具有非零Hirzebruch^A-亏格自旋流形上的Atiyah-Singer-Laplace算子的前n个非平凡特征值,并且利用Atiyah-Singer指标定理得到了特征值的上界估计,进而证明了一个外蕴版本的新消灭定理. 本文的组织结构如下. 首先,在第一章中,介绍了本文的研究背景,主要结果及论文的篇章结构. 其次,我们在第二章中回顾了子流形几何中的一些基本事实,随后介绍了自旋几何中的一些重要概念:Dirac算子,Dirac丛,流形的号差,拓扑亏格等.在此基础上,引出了Dirac算子的特征值问题. 再次,论文中的两个主要定理的证明放在第三章,其中这两个定理的证明分别利用了不同的方法. 最后,论文末章给出了主要结果的一些重要应用以及新的消灭定理的证明.

关键词： Dirac算子   逆谱问题   唯一性   共振   特征值   渐近分布  

摘要： Dirac算子的共振和逆共振问题是微分算子理论中的重要课题,其应用已广泛涉及数学物理、地球物理、量子力学、工程技术等诸多领域.本文主要考虑具有紧支撑势函数的Dirac算子在半直线和全直线上共振的渐近分布及逆共振问题.主要安排如下:1.对于半直线情形,运用辐角原理、Rouch`e定理及一类超越方程解的渐近表达式,给出复平面上共振的渐近分布,并证明由部分共振及子区间上的势函数信息确定整个区间上势函数的唯一性定理.2.对于全直线情形,研究共振的渐近分布,获得了带有下标编号刻画的共振渐近性,并考虑基于混合数据的逆共振问题,得到四个确定势函数的唯一性定理.具体来说,若势函数在区间[b,]上已知,则当b=2时,所有共振可以唯一确定整个区间上的势函数;当b<2时,部分共振即可唯一确定势函数;当b>2时,部分共振和反射系数的部分零点可以唯一确定势函数.本文还证明了所有共振和一些内部数据可以唯一确定势函数.