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关键词： 不定测度   MDE   特征值   特征函数   收敛性  

摘要： 不定测度在数学分析、量子力学及信号处理等领域具有重要的理论价值和应用前景.然而,在广义不定测度框架下,特征值问题尚未得到充分研究.在本文中,主要研究具有不定权测度的二阶测度微分方程的Dirichlet特征值问题,并对该问题的特征值进行完整描述.为了获得这一结果,首先建立该问题存在第一个正特征值和负特征值的充要条件.其次,在不定权测度为奇异测度的情况下,将对特征值进行完整描述.然后,通过构造逼近测度并发展特征值的收敛性结果,将证明主要结果.最后,将提出关于第一个正特征值的一些优化问题.

关键词： Dirichlet问题   特征值   Leray位势   Leray不等式   Li-Yau型下界估计   Karachalios型下界估计   Cheng-Yang型上界估计   Weyl极限  

摘要： 本论文研究具有Leray位势的Laplace算子的Dirichlet特征值及相关问题. 本文主要考虑以下方程的特征值,即: 其中-Δ+μ/|x|2(ln1/|x|)2表示Leray算子,-1/4≤μ<0,B1(?)R2为单位圆盘.我们假设上述方程所对应的特征值为{λμ,i}i∈N. 一方面,我们将类比Laplace算子的Dirichlet特征值问题给出的特征值λk的Li-Yau类型的下界估计:(?)k∈N,有λk≥CN|Ω|-2/Nk2/N,其中CN=N/N+2(2π)2|B1|-2/N.给出具有Leray位势的Laplace算子的Dirichlet特征值λμ,m的Li-Yau类型的下界估计:当-1/4≤μ<0且(?)m∈N时,有 类比Hardy算子的Dirichlet特征值问题给出的特征值λμ,k的Karachalios类型的下界估计:(?)N≥3且-(N-2)2/4≤μ<0时,有λμ,k≥e-1σμk2/N,其中σμ=max{SN(N-2)-2(N-1)/N‖X11-N/2‖L2(Ω)-4/N,(1-μ/μ0)N(N-2)/4ωN-12/N|Ω|-2/N},给出具有Leray位势的Laplace算子的Dirichlet特征值λμ,m的Karachalios类型的下界估计:当-1/4≤μ<0且(?)m∈N时,有 其中 a0=‖|x|(ln1/|x|)(1+lnln1/|x|)‖L2(B1)2,μ2>0为某一常数. 另一方面,我们通过类比Laplace算子的Dirichlet特征值问题给出的特征值λk的Cheng-Yang类型的上界估计:(?)k∈N,有λk≤(1+4/N)k2/Nλ1,得到了具有Leray位势的Laplace算子的Dirichlet特征值λμ,m的Cheng-Yang类型的上界估计:(?)m∈N且-1/4≤μ<0时,有 其中λ1是B1(?)R2上Laplace算子对应的的第一特征值,c0∫B1φ12/|x|2(-ln|x|)2dx,φ1是λ1所对应的第一特征函数且∫B1φ12dx=1. 最后,我们给出了上述方程对应的特征值λμ,j的渐近行为:当-1/4≤μ<0时,有 并且发现一个有趣的现象,即:特征值的渐近行为并非依赖于参数μ.这一现象同时也说明了 Leray位势对于上述的Dirichlet问题中特征值的渐近行为并没有发挥关键的作用.

关键词： 对称张量   lk,s-奇异值   z-特征值   zp-特征值   正定性判定  

摘要： 张量的lp/2,q-奇异值、z-特征值和zp-特征值在偶次齐次多元多项式的正定性判定、固体力学中的强椭圆性条件判定和量子力学中的多体纯态量子纠缠的几何测度估算等问题中有着重要应用。本文研究了张量lp/2,q-奇异值、z-特征值和zp-特征值的定位(分布、估计和计算)问题,给出了张量lp/2,q-奇异值、z-特征值和zp-特征值的定位集,并由这些定位集得到了实对称张量正定性的判定准则、强椭圆性条件成立的准则、量子纠缠的几何测度的下界等。具体研究结果如下: 针对矩形张量lp/2,q-奇异值的定位问题,首先定义了矩形张量的lp/2,q-奇异值;其次,构造了lp/2,q-奇异值的一个含有参数向量的定位集,并通过找到最优参数给出了最优参数定位集;随后,由最优参数定位集得到了实对称矩形张量正定性的判定准则;然后,提出了低阶低维矩形张量所有lp/2,q-奇异值的直接计算方法;最后,通过数值算例对所得理论结果进行了验证。 针对一般张量z-特征值的定位问题,首先通过寻找张量z-特征值的已有含参数向量定位集的最优参数,给出了最优参数定位集,并由最优参数定位集得到了实对称张量正定性的判定准则;其次,利用z-特征向量的任意分量乘积的上界和不等式放缩技术,构造了z-特征值的定位集,并由该定位集得到了张量z-谱半径的上界;最后,通过数值算例对所得理论结果进行了验证。 针对一般张量zp-特征值的定位问题,首先给出了非负张量zp-特征值的Perron-Frobenius定理;其次,给出了 一般张量zp-谱半径的上界;随后,给出了非负不可约张量正的zp-特征向量的最大分量和最小分量之比的下界;最后,通过数值算例对所得理论结果进行了验证。

关键词： 自同构群   特征值   主多项式   特征多项式   正交矩阵  

摘要： 图的自同构群与特征值研究是图论领域的重要分支,具有丰富的理论内涵和广泛的应用前景。一个图的自同构群是由所有保持图的邻接关系的自同构组成的群,它刻画了图内在的对称程度。在图论中建立自同构群Γ(G)和图G的特征值之间的联系是一个经典问题。1980年,Criscuolo等人证明了图G自同构群阶的上界为2k-1,其中k是χ(G;x)在有理数域Q上的不可约因子的个数,图G所有特征值都是简单的。 本文主要是对Criscuolo等人的结果进行改进。我们引入与图G相关的平坦多项式,它被定义为特征多项式与主多项式的商。对于一个图G其平坦多项式是无平方的,我们建立了其自同构群阶的上界,该上界与平坦多项式在有理数域Q上不可约因子的数量有关。 记图G的平坦多项式为v(G;x)=χ(G;x)/μ(G;x),本文研究了对于一个具有无平方平坦多项式的图G,其自同构群阶的上界的问题。具体结果如下: 1.设G是一个具有n个顶点的图,并且v(G;x)是无平方的。假设v(G;x)在有理数域Q上具有标准因子分解:v(G;x)=p1(x)p2(x)…ps(x), 其中不可约因子满足degp1(x)≤…≤deg ps(x)。定义τ=max {t:1≤t≤s 且(?)degpi(x)≤n/2} 则图的自同构群Γ(G)是一个阶数至多为2τ的初等阿贝尔2群。 在对自同构群的自然推广下,平坦多项式v(G;x)的不可约因子的数量与新群的阶之间存在直接联系,其结果如下所示: 2.设F是实数R的一个子域,G是一个具有n个顶点的图,并且v(G;x)是无平方的。则ΓF(G)是一个阶数为2s的初等阿贝尔2群,其中s是平坦多项式v(G;x)在F上的不同不可约因子的数量。 本文还研究了广义道矩阵下图的自同构群的上界问题。

关键词： 凸几何分析   混合行列式   对偶混合行列式   Bergstrom不等式  

摘要： 本文围绕凸几何分析中的混合行列式与对偶混合行列式展开研究,基于Brunn-Minkowski理论和对偶Brunn-Minkowski理论,探讨了相关不等式的极值问题. 首先,在Brunn-Minkowski理论和对偶Brunn-Minkowski理论的框架下,介绍了混合行列式与对偶混合行列式的定义和相关性质,并介绍了相关的概念与引理. 其次,将混合行列式的Bergstrom不等式从一运算量为正定对称矩阵,另一运算量为单位矩阵的特殊情况推广至更一般的情形:两运算量同为正定对角矩阵和两运算量同为正定对称矩阵.针对两运算量同为正定对角矩阵的情况,通过构建混合行列式的对称函数给出了相应的证明,其成立条件为r=0,1,...,n-1.针对两运算量同为正定对称矩阵的情况,通过利用混合行列式的Aleksandrov-Fenchel不等式以及其他相关的引理给出了相应的证明,其成立条件为r=n-2,n-1.同时,结合混合行列式中的相关引理与不等式,完成了混合行列式的Cauchy-Schwarz不等式的证明. 最后,利用对偶混合行列式的相关引理与不等式,完成了对偶混合行列式的Cauchy-Schwarz不等式的证明.同时,证明了两运算量同为正定对角矩阵和两运算量同为正定对称矩阵两种情况下的对偶混合行列式的Bergstrom不等式.

关键词： 标签分布学习   特征选择   自信息   条件信息熵   矩阵运算  

摘要： 随着信息技术的快速发展和互联网的广泛普及,数据规模呈指数级增长,数据所蕴含的潜在价值对企业发展与产品优化具有重要意义。然而,面对类型多样、结构复杂数据集,如何高效且高质量地挖掘有价值的信息成为数据挖掘领域的重要挑战。为减少高维数据中无关或冗余特征的影响,数据挖掘前需进行数据预处理,特征选择是其中关键一环。本文聚焦于标签分布学习数据的特征不确定性问题及特征选择的计算复杂性问题,提出两种特征选择算法减少冗余特征,提升数据分类性能。本文的主要研究内容如下: 针对标签分布学习数据的特征不确定性问题,传统粗糙集理论在特征选择过程中仅考虑下近似,而忽略了上近似,导致特征重要性度量的不完整性。为此,本文提出了一种基于相对自信息的标签分布学习特征选择算法。首先,在标签分布数据中分别构造特征空间与标签空间的距离矩阵,并定义特征的上、下近似。其次,提出四种自信息度量,用于衡量标签分布数据的不确定性。随后,通过理论证明和数值分析实验选出最优度量——相对自信息,并基于该度量设计特征选择算法。最后,在9个公开数据集上对该算法进行了分类实验,并采用6种标签分布学习评价指标进行性能评估。结果表明,该算法的分类性能优于另外5种主流特征选择算法,验证了其有效性和优越性。 针对标签分布学习数据特征选择方法复杂的问题,为了更简洁计算和表达特征的重要度,量化每个特征对标签的影响,减少数据的不确定性,本文提出了一种基于条件信息熵和矩阵运算的标签分布学习特征选择算法。该算法包括两个核心创新:首先,定制设计了一个专门校准的信息熵度量来测量标签分布数据特征不确定性。其次,集成了基于矩阵的计算范式来优化信息处理效率。具体地说,构造了相容关系矩阵、决策关系矩阵和相容对角矩阵等一系列矩阵,简化了相容关系和决策关系的表达和计算。此外,利用特征的内重要度和外重要度进行特征选择,提高了重要特征的搜索效率。最后,通过在13个公开数据集上进行的一系列实验,证明了算法的可行性,并且将该算法与6个特征选择算法进行比较,实验结果表明,所提出的算法具有明显的优势。

关键词： Dirac算子   旋量   Riemann流形   特征值不等式   PPW型不等式   Yang型不等式  

摘要： 本文研究了等距嵌入欧式空间的紧致Riemann流形上Dirac算子的特征值问题,并推导了作用于某些Dirac不变子丛的Dirac算子特征值平方的一些外界估计,从而建立了Dirac算子的若干个特征值不等式. 下面,来介绍本文的结构. 在第一章中,介绍了本文的研究背景与主要结果. 在第二章中,回顾子流形几何中的一些基本事实,随后引入自旋几何中的一些必要概念:Dirac算子,Dirac丛等等.此外,陈述了著名的Bochner-Lichnerowicz-Weitzenb¨ock公式,这将有助于证明主要结果. 在第三章中,证明了特征值不等式的若干个通用公式. 在第四章中,将给出定理1.2.3,定理1.2.4和定理1.2.6的证明.

关键词： Copy-Move   不变矩   特征向量   字典排列  

摘要： 本文提出一种基于Hu不变矩的图像Copy-Move篡改被动取证方法,为了检测方案的正确性和有效性,利用C++语言编写验证程序。本文的算法整体可分为四个步骤。第一步:子块划分。对需要被检测的图像进行预处理操作,把它分为一定大小的重叠子块,并记录其坐标。第二步:特征提取。为了计算相似值,从子块中提取Hu不变矩,作为其特征向量。第三步:相似值计算。为了提高计算效率,对所有的特征向量进行二级字典排序,再计算特征向量之间的相似值;将计算得到的相似值与所设定的阈值S进行比较,记录相似值大于阈值S的位置信息。第四步:结果输出。遍历所有记录位置的子块集合,生成可视化检测结果。从实验结果来看,该方法可用于经过平移、旋转、镜像等多种篡改场景,并具有较好的鲁棒性和准确性。总体来看,本文提出的方案能够准确地检测出经过Copy-Move篡改的图像,在对图像真实性要求高的领域中具有较好的应用前景。