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关键词： 混合有限元方法   重调和特征值问题   Helmholtz传输特征值问题   先验误差估计   后验误差估计   自适应计算   多网格离散方案  

摘要： 重调和特征值问题与Helmholtz传输特征值问题具有广泛的物理背景和重要的理论意义,其数值求解方法一直是学术界关注的研究课题.本文研究了这两类特征值问题的混合有限元方法,具体内容如下: 第一,在特征函数u和辅助函数v=Δu具有不同正则性的条件下,研究重调和特征值问题的hp混合间断有限元方法.通过建立误差恒等式推导了近似特征值和近似特征函数的先验和后验误差估计,并用浓缩算子和hp插值误差估计证明了后验误差估计子对近似特征值的可靠性.数值试验表明该方法可以获得高精度的近似解. 第二,建立了重调和特征值问题的混合间断有限元方法的多网格离散格式,推导了基于移位反迭代多网格模式下的近似特征值和特征函数的先验和后验误差估计,验证了后验误差估计子的可靠性.最后通过实施多网格模式下的自适应计算和标准的自适应计算,验证了多网格离散方案的高效性. 第三,研究了重调和特征值问题的Ciarlet-Raviart混合协调有限元方法的后验误差估计,验证了后验误差估计子的有效和可靠性并实施了自适应计算.数值试验结果表明自适应计算可以达到最优收敛阶. 第四,对散射体是吸收介质的修正传输特征值问题,研究了它的混合协调有限元方法.先利用G(?)rding不等式证明了极小极大条件和离散的极小极大条件成立,再用Babu(?)ka-Osborn谱逼近理论研究了近似特征对的收敛性,得到了先验误差估计;接下来用标准的后验误差分析方法和泡泡函数的技巧推导了近似特征对的后验误差估计,验证了后验误差估计子对近似特征函数的可靠性和有效性和后验误差估计子对近似特征值的可靠性.数值试验结果表明自适应计算可以达到最优收敛阶. 第五,针对二维空间中散射体与周围介质具有相同磁导率,或三维空间中散射体与周围介质具有相同声速的情况的各向异性传输特征值问题,首次研究了它的高阶混合协调有限元逼近,证明了连续的和离散的极小极大条件成立并给出了先验误差估计.对传输特征值问题的聚特征值,研究了它的后验误差估计和自适应计算,验证了后验误差估计子对近似特征值和特征空间的可靠性,分析了后验误差估计子对特征空间的有效性.数值试验验证了理论分析,证明了方法的高效性.

关键词： 双馈风机   直驱风机   多参数   特征值轨迹   次同步振荡  

摘要： 为推进“双碳”目标实现,我国风电装机规模持续扩大,双馈风机和直驱风机作为主流机型接入电网引发的次同步振荡问题日益凸显。该问题主要受风机类型、控制器参数和运行工况等多种因素的耦合影响,而这些因素与振荡模态间的复杂关联使得次同步振荡特性分析变得尤为复杂。现有研究多聚焦于单一双馈/直驱风机并网场景,缺乏对混合风电场中各类风机动态交互作用引发的新型次同步振荡模态特性分析。因此,研究双馈-直驱混合风电场次同步振荡多模态耦合特性,对于保障复杂新型电力系统的稳定运行具有重要意义。 本文首先建立了双馈-直驱混合风电场并网系统的详细次同步振荡分析模型,包括双馈风力发电机、永磁风力发电机、变流器控制系统、同步发电机组和交流串补网络输电模型,为双馈-直驱混合风电场次同步振荡特性分析奠定基础。 然后,针对双馈-直驱混合风电场中风电场与系统耦合作用引发的多模态共存现象(包括单/多风机参与的同步机轴系振荡、感应发电机效应以及多风机参与的电网L-C振荡),本文基于稀疏全局多项式逼近方法提出次同步模态特征值随参数变化关系(即特征值轨迹)的显式量化方法。该方法在保持精确度的同时,有效克服了传统局部灵敏度分析的局限性。并利用获取的特征值轨迹显式表达式分析各风机控制器系数、风机配置比、风速和串补度等多维参数对次同步振荡多模态的差异化作用机制。 最后,针对双馈-直驱混合风电场中,因参数变化引起多个次同步振荡模态的固有频率与阻尼同时趋近,并在复平面上以成对特征值轨迹重合形成重根的强模态共振现象。本文基于变量变换的多项式逼近方法,显式表征强模态耦合作用下的轨迹变化规律。该方法通过对特征值和特征向量进行变化,避免了联合特征值轨迹对在重合点处的奇异性。算例验证了该方法的准确性,进一步量化联合特征值轨迹对受关键参数变化的影响,揭示了次同步振荡强耦合作用规律。为新型电力系统中强模态共振的预测和抑制提供参考。

关键词： 频域有限差分法   Maxwell特征值问题   光波导问题   数值计算方法  

摘要： 本文运用频域有限差分法求解Maxwell特征值问题,并探讨其数值解在光波导中的应用.首先阐述了Maxwell方程组在电磁学中的核心地位以及求解Maxwell特征值问题的重要意义.其次详细介绍了频域有限差分法的基本原理,包括对电磁场分量在空间的离散化处理.通过将该方法应用于特定波导结构的Maxwell特征值问题进行求解,进而得到光波导内部电磁场各分量的数值结果.最后对所得结果进行验证,展示了频域有限差分法在求解此类问题上的准确性与有效性.本文为进一步研究电磁现象、优化电磁设备和光子器件的设计以及相关领域的技术发展提供了理论依据与计算方法支持.

关键词： 范德蒙德矩阵   循环行列式   特征值   特征向量  

摘要： 范德蒙德矩阵是高等代数中的一个重要概念，其行列式由于形状特殊，结果优美被广大数学爱好者所熟知.借助范德蒙德矩阵的特殊结构，研究其在多项式、行列式、特征值以及特征向量等相关领域中的应用.通过理论分析与具体实例相结合，揭示范德蒙德矩阵的重要性和实用性。

关键词： 有限元方法   特征值问题   拟蒙特卡洛方法   随机系数   二重网格方法  

摘要： 本文主要研究了带有随机密度函数的特征值问题,包括随机变量的截断误差、有限元误差、拟蒙特卡洛误差在内的数值估计.其成果对于结构力学、光子晶体研究和中子扩散问题具有重大意义.本文对于随机密度函数进行随机变量和空间变量分离的级数展开.通过将密度函数的级数展开截断至有限维,并采用有限元(FE)方法求解特征值问题,再通过带有随机位移的拟蒙特卡洛(QMC)方法近似积分.基于上述方法,本文证明了最小特征值和最小特征函数的数值总误差,该误差估计值取决于截断维度s,有限元网格尺寸h和选取拟蒙特卡洛的样本点数量N.最后,我们通过数值实验验证截断-有限元-拟蒙特卡洛的总误差的估计结果.此外,我们还用二重网格方法分析随机特征值问题,并证明了二重网格解的收敛阶估计.此结果对于研究多级拟蒙特卡洛的总误差分析具有重要意义.