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关键词： 参数化逆特征值问题   参数化广义逆特征值问题   两步法   非精确牛顿类法  

摘要： 在本文中,我们研究了参数化逆特征值问题(PIEP)与参数化广义逆特征值问题(PGIEP)的两种数值解法.第一,受***在[5]中所提出技术的启发,我们在此提出了一种两步IA法来解决PIEP问题.与其他现有方法相比,所提出的方法通过引入新的迭代策略和优化步骤,且具有更高的收敛阶数和/或需要更少的运算量.在假设解的相对广义Jacobian矩阵非奇异的情况下,我们证明了所提出的方法具有三阶根收敛速率. 其次注意到***,***在[*** ***.44(2021),4217-4234]给出的关于参数化广义逆特征值问题的牛顿类和非精确牛顿类方法的二次收敛性证明是不正确的.我们提出了一种解决PGIEP问题的修正非精确牛顿类算法,并且给出了引理的正确证明,从而可以得到算法为超线性收敛. 最后,我们通过一系列数值实验验证了所提出方法的可行性与优越性.实验结果表明,与现有方法相比,改进后的方法在处理大规模问题时表现出更高的计算效率和更快的收敛速度.这些实验结果进一步证实了该方法在实际应用中的潜力.综上所述,本文提出的算法不仅具有理论上的创新性,还在实际应用中展现了显著的优势.

关键词： 不定测度   MDE   特征值   特征函数   收敛性  

摘要： 不定测度在数学分析、量子力学及信号处理等领域具有重要的理论价值和应用前景.然而,在广义不定测度框架下,特征值问题尚未得到充分研究.在本文中,主要研究具有不定权测度的二阶测度微分方程的Dirichlet特征值问题,并对该问题的特征值进行完整描述.为了获得这一结果,首先建立该问题存在第一个正特征值和负特征值的充要条件.其次,在不定权测度为奇异测度的情况下,将对特征值进行完整描述.然后,通过构造逼近测度并发展特征值的收敛性结果,将证明主要结果.最后,将提出关于第一个正特征值的一些优化问题.

关键词： Sturm-Liouville问题   渐近估计   第一特征值   谱理论   点干涉  

摘要： Sturm-Liouville问题作为微分方程理论的核心分支,在量子力学,生物数学等领域具有广泛应用.其中,第一特征值的渐近估计是理解系统稳定性和动态响应的关键.然而,现有研究多集中于光滑性极高的势函数,尤其在量子力学中,势函数往往不具备这样的光滑性.因此本文针对于一般的可积函数,特别是点干涉δ函数的势函数,以及类Contor集函数,系统研究了在这些势函数强度增大时,在一般分离边界条件下,第一特征值的渐近性,得到了有界性,无穷性的估计结果. 本文利用谱理论的方法给出了当参数趋于无穷时,第一特征值趋于无穷的一个充分条件,即势函数严格正定,并考虑了一类极端情况,即点干涉δ函数的势函数情况,随着参数变化,第一特征值由负无穷变化到原问题的第二特征值.另外,为了说明给出的条件并不是一个必要条件,我们研究了分段函数的第一特征值渐近估计式,利用Prüfer变换证明了在势函数半正定时第一特征值是有界的.同时严格证明了此时第一特征值的渐近行为是由长度最大的零子区间决定的.利用这一结论,我们构造了反例,即类Contor集函数,此时这类函数并不满足严格正定,但其第一特征值仍趋于无穷.

关键词： 期望收益   特征值   权重因子  

摘要： 为培养学生探究能力,对教科书例题“猜歌名游戏”进行一般化研究,得到了提高期望收益的排序方法.通过定义问题的特征值,将表达简化,且该特征值在诸多领域都有应用.

关键词： 标签分布学习   特征选择   自信息   条件信息熵   矩阵运算  

摘要： 随着信息技术的快速发展和互联网的广泛普及,数据规模呈指数级增长,数据所蕴含的潜在价值对企业发展与产品优化具有重要意义。然而,面对类型多样、结构复杂数据集,如何高效且高质量地挖掘有价值的信息成为数据挖掘领域的重要挑战。为减少高维数据中无关或冗余特征的影响,数据挖掘前需进行数据预处理,特征选择是其中关键一环。本文聚焦于标签分布学习数据的特征不确定性问题及特征选择的计算复杂性问题,提出两种特征选择算法减少冗余特征,提升数据分类性能。本文的主要研究内容如下: 针对标签分布学习数据的特征不确定性问题,传统粗糙集理论在特征选择过程中仅考虑下近似,而忽略了上近似,导致特征重要性度量的不完整性。为此,本文提出了一种基于相对自信息的标签分布学习特征选择算法。首先,在标签分布数据中分别构造特征空间与标签空间的距离矩阵,并定义特征的上、下近似。其次,提出四种自信息度量,用于衡量标签分布数据的不确定性。随后,通过理论证明和数值分析实验选出最优度量——相对自信息,并基于该度量设计特征选择算法。最后,在9个公开数据集上对该算法进行了分类实验,并采用6种标签分布学习评价指标进行性能评估。结果表明,该算法的分类性能优于另外5种主流特征选择算法,验证了其有效性和优越性。 针对标签分布学习数据特征选择方法复杂的问题,为了更简洁计算和表达特征的重要度,量化每个特征对标签的影响,减少数据的不确定性,本文提出了一种基于条件信息熵和矩阵运算的标签分布学习特征选择算法。该算法包括两个核心创新:首先,定制设计了一个专门校准的信息熵度量来测量标签分布数据特征不确定性。其次,集成了基于矩阵的计算范式来优化信息处理效率。具体地说,构造了相容关系矩阵、决策关系矩阵和相容对角矩阵等一系列矩阵,简化了相容关系和决策关系的表达和计算。此外,利用特征的内重要度和外重要度进行特征选择,提高了重要特征的搜索效率。最后,通过在13个公开数据集上进行的一系列实验,证明了算法的可行性,并且将该算法与6个特征选择算法进行比较,实验结果表明,所提出的算法具有明显的优势。

关键词： 二次型   无平方因子数   Dirichlet级数  

摘要： 整数表为正定二次型的表法问题是数论研究的经典课题之一,其与二次型理论、模形式以及椭圆曲线等多个数学分支密切相关. 令 l≥2,x:=(x1,...,xl),A=(aij)为整数矩阵,0 ≤i≤l,aii ≡0(mod 2).正定二次型可表示为我们记r(n,Q):=|{x∈Zl:Q(x)=n}|. 本文聚焦于无平方因子数表为正定二次型的表法个数问题,借助Riemann zeta函数、L-函数的解析性质与矩估计以及模形式的相关理论,研究了如下两个和式的渐近性:得到了以下定理: 定理1.2.1令l≥5,对于充分大的x,我们有其中C为常数,Δl(x)为估计中的余项满足 定理1.2.2令l≥ 5,k≥2,对于充分大的x,我们有其中Pk(logx)为关于logx的k-1次多项式,Δk(x)为估计中的余项满足 定理1.2.3对于类数为l的本原正定二元二次型Q.令k>2,我们有其中 定理1.2.4当l≥8且8|l,|A|=1时,对于充分大的x,我们有其中Pk(logx)为关于logx的k-1次多项式,Δk(x)为估计中的余项满足k≥4时余项的估计与定理1.2.2一致,在此不重复叙述. 此外Epstein zeta函数k次幂的系数rk(n,Q)定义如下: 本文同样得到了rk(n,Q)在无平方因子数上的求和渐近公式. 定理1.2.5对于k≥2,我们有其中Pk(logx)为关于logx的k-1次多项式.Δk(x)在相同条件限制下的估计与Δk(x)一致.

关键词： 正定矩阵   高等代数   判定方法  

摘要： 正定矩阵是高等代数的重要内容之一，在高等代数教材和考研试题中占据重要的地位。因此，正定矩阵理论的研究长期获得研究者的关注。本文归纳总结出正定矩阵的若干判定方法以及每一种判定方法的适用范围，讨论了正定矩阵如何应用于解题过程。

关键词： 离散混沌系统   反控制   无简并   哈希函数   伪随机数发生器  

摘要： 混沌系统具有的动力学特性与密码学中“混淆”、“扩散”机制相契合,因而在信息安全领域得到了广泛应用。然而,在工程实践中,设备精度限制会导致截断效应,使得定义在实数域的混沌系统通过数字硬件实现后演变为数字混沌,数字混沌相较于原始混沌存在特性退化,将导致系统从混沌态转化为周期态。如果数字混沌序列存在较多的短周期现象,将难以满足信息安全领域对随机性的需求,该问题长期制约着混沌技术在工程应用中的实际推广。为了解决该问题,针对不同类型的混沌系统,本文将提出三种无简并混沌的构造算法,通过增强混沌系统的复杂度,从而抑制系统的数字退化。在此基础上,对哈希(Hash)函数和伪随机数发生器(PRNG)进行改进,提升其性能和安全性。主要工作如下: (1)基于矩阵特征值的平移与缩放特性,本文将提出一种用于构建N维离散无简并混沌系统的算法。通过引入两个控制参数,对受控混沌系统的Jacobi矩阵的特征值进行平移和放大,使系统的最小Lyapunov指数的数值范围可控。 (2)基于Gerschgorin定理,本文将提出一种构建N维复数域无简并混沌系统的算法。由于矩阵特征值仅存在于盖尔圆域内,通过控制盖尔圆与单位圆在复平面内的相对位置,对系统的Lyapunov指数的取值范围进行控制。 (3)基于分块三角矩阵的特性,本文将提出一种通过矩阵迭代扩展的方式,构建N维无简并多项式混沌系统的算法。对主对角线上的二维矩阵进行配置,每次迭代时构造分块上/下三角矩阵,最终扩展出所需维度的混沌系统。 (4)为了增强并行Hash抵抗差分攻击的能力,将设计一种双向比特扩散机制对明文消息进行预处理。然后利用提出的基于双参数增益的混沌构造算法,改进基于海绵(Sponge)结构的Hash函数。将构造的无简并混沌系统作为Sponge函数,用于吸收明文消息,提高Hash函数的效率和安全性。 (5)为了改进基于混沌伪随机数发生器,受图像加密中置乱和扩散机制的启发,将设计一种高效的比特扰动算法,对无简并复数域混沌系统产生的混沌序列进行后处理。增强PRNG的安全性,同时提升其数据吞吐量。

关键词： Dirac算子   旋量   Riemann流形   特征值不等式   PPW型不等式   Yang型不等式  

摘要： 本文研究了等距嵌入欧式空间的紧致Riemann流形上Dirac算子的特征值问题,并推导了作用于某些Dirac不变子丛的Dirac算子特征值平方的一些外界估计,从而建立了Dirac算子的若干个特征值不等式. 下面,来介绍本文的结构. 在第一章中,介绍了本文的研究背景与主要结果. 在第二章中,回顾子流形几何中的一些基本事实,随后引入自旋几何中的一些必要概念:Dirac算子,Dirac丛等等.此外,陈述了著名的Bochner-Lichnerowicz-Weitzenb¨ock公式,这将有助于证明主要结果. 在第三章中,证明了特征值不等式的若干个通用公式. 在第四章中,将给出定理1.2.3,定理1.2.4和定理1.2.6的证明.