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关键词： Steklov特征值问题   间断伽辽金方法   二网格离散   移位反迭代  

摘要： 本文采用间断伽辽金有限元方法求解Steklov特征值问题,并提出了一种基于移位反迭代的间断伽辽金方法的二网格离散化方案.利用该方案,我们将细网格上Steklov特征值问题的解简化为粗网格上Steklov特征值的解和细网格上线性代数系统的解,在相同自由度的网格条件下节省了计算时间.最后,我们给出了一些数值算例,数值算例结果表明了算法的有效性和理论结果的正确性.

关键词： 法则课   核心素养   消元法  

摘要： 在初中数学教学实践中，基于核心素养视角对“消元——解二元一次方程组”的教学活动进行设计.通过将教学内容、教学目标、教学活动、问题导向教学与核心素养相结合，引导学生经历法则课的学习过程，帮助学生积累基本活动经验，促进学生对“消元法”的理解和应用，实现提升学生运算能力的教学目标.

关键词： Dirac算子   转移条件   特征值   Green函数  

摘要： 微分算子是一类重要的无界线性算子,其谱理论的研究不仅在数学领域具有深刻的理论价值,更为量子力学的发展提供了重要的数学支撑.在微分算子谱理论的研究中,谱性质的探讨始终处于核心地位,众多学者对此进行了广泛的研究.在量子力学中,Dirac算子在描述能量及原子内力问题中发挥着重要的作用.然而,当力学系统受到外力干扰或是原子系统受到外电磁场影响时,原系统的连续性都可能会遭到破坏,这类问题可以转化为不连续微分算子的研究.因此对内部具有不连续点的Dirac算子的谱性质进行研究是十分有必要的.全文共分四章. 第一章阐述了本文的研究背景和研究现状,并对本文的研究内容进行了概述. 第二章研究了一类带谱参数边界条件且内部具有两个不连续点的Dirac算子的谱性质.通过定义适当的Hilbert空间和内积,将所考虑的问题转化为对应的算子问题,并证明了算子的自伴性.然后,给出了算子特征值与判断函数零点一致以及特征值单重性的证明.最后,利用常数变易法求出了问题的Green函数和预解算子. 第三章研究了一类具有周期边界条件且内部具有一个不连续点的Dirac算子的谱性质.同样的给出了算子自伴性的证明和特征值的一些性质,以及问题的Green函数.此外还给出了问题特征值的判断函数无n重零点(n≥3)的证明.因为耦合边界条件较分离边界条件更复杂,所以在证明的过程和方法上有所不同. 第四章将上述边界条件推广为一般的耦合边界条件,并考虑内部点条件带谱参数的情况,研究了一类具有耦合边界条件且内部点条件带谱参数的Dirac算子的谱性质,得到了与上述问题类似的结论.

关键词： Sturm-Liouville问题   边界条件依赖于特征参数   耦合边界条件   不定权   非实特征值  

摘要： Sturm-Liouville(S-L)问题是微分算子谱理论中的经典问题,它不仅在理论数学中具有广泛的应用,而且在物理、工程、量子力学、工程技术等领域中也扮演着至关重要的角色.S-L问题的解通常用于描述波动、热传导、振动等物理现象,因此其研究对理解多种自然现象具有重要的现实意义.在许多实际问题中,S-L问题因其广泛应用而受到越来越多的关注,例如高粘性流体流动、地球流体力学中的位涡动力系统以及机械振动等领域.因此对S-L问题开展系统深入的研究势在必行,这不仅丰富现有理论体系,还可为前沿科技与工程应用的跨越式发展筑牢根基. 随着微分算子谱理论的深入发展,带有自伴边界条件的右定S-L问题已经取得了成熟的谱理论成果,因此,越来越多的研究者开始关注不定问题.近年来,边界条件依赖特征参数的S-L问题因其在力学和数学物理中的广泛应用而受到越来越多的关注,比如涉及各类载荷的振动问题以及机械振动等.在过去几十年里,针对边界条件依赖特征参数的S-L问题已经取得了大量成果,例如特征值关于参数的依赖性、逆谱理论、特征值的渐近性、特征函数的展开及其振荡性等.众所周知,带有不定权的S-L算子会出现非实特征值.注意到,众多学者倾向于在经典边界条件,诸如Dirichlet边界条件和分离型边界条件下,对二阶不定S-L问题的非实特征值进行研究.然而,对于一维p-Laplacian问题、边界条件包含谱参数的情况、耦合边界条件以及高阶不定边值问题等情况,其非实特征值界的估计的研究却相对较少.受相关文献的启发,我们研究了几类具有不定权函数的S-L问题的非实特征值界的估计. 首先研究了在分离型边界条件下的一维不定p-Laplacian问题.利用经典分析以及测度理论,结合有界变差函数,根据权函数w(x)的变号情况构造合适的辅助函数和积分区间,通过分离实部和虚部,得出了该问题非实特征值虚部和模的上界估计. 其次研究了一类边界条件依赖谱参数的二阶不定S-L特征值问题.首先定义了新的Hilbert空间L|w|2⊕C及其中的内积,在此空间框架下构造了一个新的T,将边值问题的特征值问题转化为该算子的特征值问题,利用经典分析技巧,通过分离实部和虚部,得到特征值λ满足的等式,结合不等式估计,得到了该问题在不同权函数条件下的非实特征值虚部和模的上界估计. 接着研究了一类具有耦合边界条件的不定S-L特征值问题.利用Krein空间中的抽象算子理论,引入能够刻画变号权函数振动性的量,结合不等式估计,给出了具有耦合边界条件的不定S-L问题非实特征值模的平方的下界估计,为深入了解非实特征值的分布和性质提供了量化依据. 最后研究了一类具有不定权函数的四阶边值问题.利用Ganelius引理,结合有界变差函数,对‖Φ‖2.2 2进行估计,其中Φ是四阶边值问题的特征函数,最后给出了当权函数变号一次或任意次时非实特征值虚部和模的上界估计. 本文的主要结构如下:第一章是绪论,主要介绍了研究问题的背景和现状,并简要概述了本文的主要结构.第二章研究了具有分离型边界条件的不定p-Laplacian问题的非实特征值的上界.第三章研究了边界条件依赖谱参数的二阶不定S-L算子的非实特征值的上界.第四章研究了具有耦合边界条件的不定S-L问题非实特征值的下界估计.第五章研究了具有不定权函数的四阶边值问题的非实特征值的上界.第六章对本文所研究的问题进行总结,并对未来可继续研究的问题做一些展望.

关键词： circRNA和疾病关联   circRNA序列数据   疾病语义信息   非负矩阵分解  

摘要： CircRNA广泛存在于人体内,在调控各种生物过程中发挥着重要作用,并与复杂的人类疾病密切相关。研究circRNAs与疾病之间的潜在关联可以加深我们对疾病的理解,并为疾病的早期诊断、治疗和预防提供新的策略和工具。然而,现有模型在准确捕捉相似性、处理关联网络的稀疏和噪声属性以及从多个角度充分利用生物信息学方面存在局限性。为了解决这些问题,本研究引入了一种新的基于非负矩阵分解的框架,称为NMFMSN。首先,结合circRNA序列数据和疾病语义信息,分别计算circRNA和疾病的相似性。鉴于已知circRNA和疾病之间的关联稀疏,根据相邻circRNA和疾病之间的交互作用,通过填补缺失链接来重建网络,以完成更多关联。最后,将这两个相似性网络整合到非负矩阵分解框架中,以确定潜在的circRNA与疾病的关联。在进行5折交叉验证和留一交叉验证后,NMFMSN的AUC值分别达到0.9712和0.9768,优于目前最先进的模型。有关肺癌和肝细胞癌的案例研究表明,NMFMSN是预测circRNA与疾病之间新关联的有效方法。

关键词： Camassa-Holm方程   最优估计   Neumann特征值   反问题   测度微分方程  

摘要： 本文主要研究Camassa-Holm方程的一类反谱问题,该方程最初源于描述浅水波的运动方程,并因其在可积系统中的独特性质而受到广泛关注.Camassa-Holm方程的显著特点之一是它允许光滑解在有限时间内发生爆破,并且这种爆破现象通常仅在势能函数变号时发生.本文针对Neumann边界条件下的Camassa-Holm方程,在固定最小正特征值的情况下,给出了变号势能函数两类最优估计的显式解表达式.研究内容可概括为以下两个部分. 在第一部分中,我们首先利用有界变差函数给出了符号测度空间的概念,随后在固定测度微分方程最小正Neumann特征值的条件下,我们求解了一类测度方程,并确定了该类测度微分方程符号测度全变差的下确界.最后我们证明该下确界正是本文关注的Camassa-Holm方程在Neumann边界条件下,特征值反谱问题对应的势能函数L1范数的下确界. 在第二部分中,考虑在固定最小正特征值的情况下,变号势能函数均值的最优上界估计.通过研究对应测度微分方程极大值问题,得到均值的上确界.

关键词： 多视图聚类   子空间聚类   基于图的聚类   相似矩阵   张量低秩约束  

摘要： 聚类作为一种重要的无监督学习算法,在数据挖掘和数据分析中发挥着重要作用,其能够智能地将数据集划分为多个类别,确保同一类别内部的数据呈现高度一致性。通常,聚类通过分析数据间的相似性,生成相似矩阵并最终产生聚类结果。然而,大多数的聚类方法,例如子空间聚类和基于图的聚类,通常仅利用单一的相似矩阵去描述数据间的相似性,这可能会导致子空间结构信息或者样本间的高阶连接信息描述不完全,最终降低聚类性能。因此,本文提出了三种创新的聚类算法,主要的研究内容和创新如下: 针对大多数子空间聚类算法仅利用单一的相似矩阵描述子空间结构的问题,本文提出了一种基于多相似矩阵融合的鲁棒子空间聚类算法(RSC/MAMF),该方法通过融合不同算法得到的相似矩阵来更好地表示子空间结构,从而获得更好的聚类性能。具体而言,RSC/MAMF首先通过利用多个经典的子空间聚类模型获取相似矩阵,并将它们堆叠为张量。其次,RSC/MAMF将加权张量核范数和普嵌入统一到一个框架中。这不仅可以有效地去除相似矩阵中的噪声,而且也有助于探索子空间结构和相似矩阵中的一致信息。 针对子空间聚类算法通常通过大量调整参数值来获得单一的相似矩阵并用于聚类的问题,本文提出一种多视图聚类视角下的鲁棒最小二乘回归子空间聚类算法(RLSR/MVCP),该方法可以有效利用不同参数获得的相似矩阵中所包含的一致和互补信息。具体而言,RLSR/MVCP首先通过融合不同参数值形成的相似矩阵构造张量,以充分描述子空间结构。其次,RLSR/MVCP对构建的张量施加张量低秩约束,以探索相似矩阵中包含的一致和互补信息。最后,RLSR/MVCP将上述步骤统一到一个框架中迭代求解。 针对大多数基于图的多视图聚类算法利用一阶相似矩阵忽略高阶相似矩阵,并且仅使用显式图或共识图进行聚类的问题。本文提出了一种基于完全多阶相似矩阵学习的多视图聚类算法(CMOGL/MVC)。该方法可以利用多阶相似矩阵学习策略来探索多视图数据中的可见信息和隐藏信息。首先,CMOGL/MVC构建每个视图的多阶相似矩阵,然后自适应地融合这些矩阵以生成每个视图的融合图,并利用融合图构建共识图,从而充分利用每个视图的信息。其次,为了提高融合图和共识图的表示能力,CMOGL/MVC从这些图的邻域中搜索具有k个连通分量的最优图并将其堆叠为张量,其中k是聚类的数量。然后,CMOGL/MVC对构建的张量施加张量低秩约束以有效挖掘最优图中的一致和互补性,并通过谱聚类获得聚类结果。

关键词： Arakelov几何   行列式方法   高度   有理点  

摘要： Arakelov几何是一种将代数几何与复几何等结合起来的数学理论,可用于研究某些数论问题。设X是代数数域K上的射影簇,S(X;B)={ξ∈X(K)|HK(ξ)≤B}.在研究#S(X;B)一致上界时,行列式方法是一个非常有效的研究工具。本文的核心在于使用Arakelov几何工具重建了一个一般版本的行列式方法,使得我们可以在应用中更容易调整辅助超曲面的个数。本文的主定理对于研究维数增长猜想和#S(X;B)的一致上界问题等具有重要作用。 本文介绍了经典高度函数的定义及其基本性质,并利用Arakelov几何理论重新定义了高度函数并研究了相关性质,并通过具体例子展示了新定义与经典定义之间的联系。基于以上预备工作,本文使用Arakelov几何重建了一个更一般版本的行列式方法,丰富了这方面的研究成果,具有更加广泛的应用前景。

关键词： 物理信息神经网络   微分方程   特征值问题  

摘要： 微分方程特征值问题在工程和科学研究中具有广泛应用,但其求解过程往往面临高维、非线性和大特征值等挑战。物理信息神经网络(Physics-Informed Neural Networks,PINN)作为一种新兴的数值方法,通过将物理方程和边界条件嵌入神经网络的损失函数中,避免了传统网格划分的复杂性,展现出强大的函数拟合能力。然而,PINN在处理高维、非线性和大特征值问题时仍存在局限性。本文针对这些问题,提出了一种改进的PINN方法,通过损失函数的无量纲化、二阶段训练法和多尺度优化策略,显著提升了求解效果。本文方法可以求解自伴微分算子的多个绝对值最小特征值、求解离初始值最近的特征值问题、重特征值问题和非线性特征值问题等。 本文首先系统梳理了神经网络的核心理论,重点分析了物理信息神经网络与神经网络在损失函数构造上的区别,并探讨了超参数的定义与优化方法。随后,针对单个特征值问题,提出了基于瑞利商与归一化条件的损失函数构造方法,通过无量纲化处理降低了权重敏感性,并结合二阶段训练法和多尺度方法优化训练过程,有效解决了大特征值、非线性特征值问题。进一步地,本文扩展至多特征值场景,通过引入正交性约束和改进损失函数设计,实现了多个特征值与特征函数的同步求解,并保持了算法的高效性。最后,本文通过一系列数值实验验证了所提方法的有效性。在一维、二维正方形区域及L形区域中,本文方法求解自伴微分算子的多个绝对值最小特征值、非线性特征值、求解离初始值最近的特征值及重特征值时,相较于现有方法精度更高,收敛速度更快,为微分方程特征值问题的求解提供了新的高效工具。未来研究将进一步探索非自伴算子的特征值问题。