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关键词： 矩阵值函数   特征值估计   Gershgorin-型集   Householder集  

摘要： 矩阵值函数的特征值问题是一类重要的非线性特征值问题,在力学、控制理论、信号处理和结构工程等学科中具有重要的应用.由于矩阵值函数特征值的精确计算较为困难,许多学者从数值计算的角度进行了深入研究.然而,现有的数值方法在处理高维度矩阵值函数的特征值问题时,往往会面临较高的计算成本.在实际问题中,有时并不需要计算矩阵值函数的所有特征值,而只需了解其特征值的大致分布区域,因此研究矩阵值函数的特征值估计方法具有重要意义.本文给出了矩阵多项式(一类特殊的矩阵值函数)的特征值估计的Gershgorin-型集,矩阵值函数特征值估计的Gershgorin-型集和Householder集,并分别讨论了这些集合的特征值包含定理及其几何性质,最后通过数值算例分别验证了结果的合理性. 首先,讨论了矩阵多项式特征值估计的两类Gershgorin-型集:Pupkov-Solov’ev集和Cvetkovi(?)集,分别给出了其特征值包含定理,讨论了它们的闭性、有界性等基本性质,并通过数值例子验证了结论的正确性. 其次,研究了矩阵值函数特征值估计的两类Gershgorin-型集,分别是广义Gershgorin集和广义Ostrowski-Brauer集.对于广义Gershgorin集,给出了其特征值包含定理以及该定理的一些推广,并在此基础上证明了矩阵值函数的Bauer-Fike定理.对于广义Ostrowski-Brauer集,讨论了其特征值包含定理以及其闭性、紧性等几何性质.之后分别通过数值算例验证了结果的合理性. 最后,探讨了矩阵值函数特征值估计的Householder集和广义Householder集,分析了其基本性质.然后将Householder集和广义Householder集具体化,给出了行Gershgorin集、列Gershgorin集、加权行Gershgorin集和加权列Gershgorin集的另一种表示形式,并通过数值算例验证了结果的合理性.

关键词： 四阶微分算子   弱特征函数   Riesz基   特征值  

摘要： 本文研究了具有分离边界条件的四阶微分算子的弱特征函数. Sturm-Liouville问题是数学物理中的经典边值问题,其研究成果广泛应用于微分方程理论、工程和应用数学等领域.该问题由Sturm和Liouville在19世纪提出,并且在热传导问题中得到应用.近年来,许多学者在其谱问题、逆谱问题及算子的迹等方面做出了重要贡献.许多物理和工程问题可以归结为二阶或四阶方程,弹性杆的纵向振动和扭转问题通常对应二阶方程,而杆的横向振动则对应四阶方程.本文主要围绕具有分离边界条件的四阶微分算子展开研究. 全文共分为四章: 第一章:介绍了问题的研究背景和本文的研究内容. 第二章:探讨了分离边界条件下的连续型四阶微分算子.其重点是构建恰当的Hilbert空间,定义方程的弱解,找出自伴紧算子,并将积分问题转化为算子束方程.证明了边值问题的谱是离散的,弱特征函数系在恰当的Hilbert空间中构成Riesz基,并且利用Rayleigh-Ritz公式推导出了特征值的下界估计. 第三章:讨论了分离边界条件下的不连续型四阶微分算子,即问题的函数或导数(拟导数)存在多个间断点的情况.由于区间的不连续性,则需合理利用转移条件,构造恰当的直和型Hilbert空间,并类似地应用第二章的方法得到算子束方程.同样证明了此类问题的谱是离散的,弱特征函数系构成恰当的Hilbert空间中的Riesz基,同时也给出了特征值的下界估计. 第四章:总结了本文的研究结果,并展望了后续研究方向.

关键词： 二分系统   非线性特征值问题   最速下降方法   共轭梯度法  

摘要： 在量子力学中,如果二分系统的密度矩阵是不可分的,实际应用时常进行可分离逼近.可分离逼近等价于一类非线性特征值问题.我们给出了求解这类非线性特征值问题的最速梯度法和共轭梯度类算法,并证明了算法的收敛性.数值算例表明最速梯度算法和共轭梯度类算法的有效性.

关键词： 自洽场迭代   关于特征向量的非线性特征值问题   特征子空间   扰动   位移  

摘要： 非线性特征值问题是数值代数领域的一项关键研究课题,对于科学研究和数据科学应用都有着重要意义.关于特征向量的非线性特征值问题来源于电子结构计算中的密度泛函理论,核心是将求满足能量式的最值解的问题转换成求解相对应的关于特征向量的非线性特征值问题,在求解过程中基于电平移位减少迭代次数,从而加快收敛过程,并且不断探究矩阵函数局部结构的变化对最优解的影响,求解此类问题的一个常见方法是自洽场迭代法,核心原理是巴拿赫压缩映射.基于迭代优化的思想,通过不断调整系统的状态,使系统达到一种自洽的平衡状态. 本文从位移量和扰动两个方面分析了基于恒定位移及变化位移两种情况下,电平移位求解关于特征向量的非线性特征值问题的收敛性,并且将对矩阵函数结构的扰动分成两类,得到两种不同类型的扰动前后矩阵函数特征子空间的变化. 我们研究了在扰动情况下,通过特定矩阵函数特征值间隙选取适当的位移量,基于变化位移的电平移位比基于恒定位移的电平移位求解特征向量相关的非线性特征值问题的收敛速度更快,性能更好,并通过建立一个上界反映位移选取对于位移前后特征子空间差的二范数的影响.

关键词： 不可约多项式   Hilbert不可约定理   牛顿多边形   结式   Rouché定理  

摘要： 在有理数域Q上,不可约多项式的判定是一个经典且极富挑战的研究课题,至今仍有众多未解决的公开问题.对于单个多项式不可约性的判定,已有Eisenstein准则、Perron准则等经典判别方法.然而,针对两个多项式线性组合的不可约性判定,相关系统性研究尚显匮乏. 设f(x)和g(x)为两个互素的整系数多项式.本博士论文主要探究当正整数N充分大时,多项式f(x)+Ng(x)在有理数域Q上的不可约性. 在本学位论文的第三章中,我们着重研究在何种条件下,当正整数N充分大时,多项式f(x)+Ng(x)在有理数域Q上是不可约的.具体而言,在条件degf<1/2degg下,我们证明了若N与f(x)和g(x)的首项系数互素,且N的标准素分解中每个素因子的指数都与f(x)和g(x)的次数之差互素,则此时N满足条件.该结果在一定程度上推广了 Cavachi和Bonciocat等人的研究成果.进一步地,我们证明当N为无平方因子的正整数时,也满足条件. 第四章主要研究形如rxm+pαg(x)的多项式,其中r为非零整数,pα为素数幂,g(x)∈Z[x]为整系数多项式,m∈Z且0≤m

关键词： 电磁超声   层析成像   特征值   管道   多模态   有限元分析  

摘要： 管道运输作为国家重要能源(石油、天然气)的主要运输方式,适应长里程运输、高效率运输及无污染运输。由于管道长期处于埋地、高温、高压、潮湿等环境状态,易产生腐蚀、裂纹等缺陷,影响能源的安全运输。管道检测目的是检出影响管道正常运行的安全隐患,为后续管道的维护与检修提供依据。电磁超声是一种无需耦合剂、检测效率高、检测范围广且适用性强的非接触无损检测方式,被广泛应用于管道缺陷检测。在电磁超声检测的基础上结合层析成像技术,对检测数据进行可视化处理,实现对管道缺陷更直观的检测。本文针对电磁超声导波层析成像质量差的问题,以电磁超声检测理论与导波层析成像理论为依据,进行管道缺陷层析成像方法的研究。 电磁超声导波管道检测机理、导波层析成像原理是实现电磁超声导波管道层析成像的理论基础。以电磁超声换能机理、管道中超声波传播特性为核心,分析管道中超声信号规律。以检测阵列设置方式、导波信号转化方法与层析成像矩阵构建原理为核心,实现对管道中缺陷的层析成像。 论文针对电磁超声导波层析成像信号提取困难,难以适应成像要求的问题,提出一种导波层析成像信号特征值提取方法。通过电磁超声全向换能阵列获取超声透射与反射信号,结合不同收发换能器的位置关系与信号相关性判断超声波透射与反射时刻,实现对信号幅值与时间间隔特征值的提取。 论文针对导波层析成像矩阵构建方法对缺陷边缘轮廓定位不准确的问题,提出一种基于时间间隔与衰减信息双特征值的导波层析成像矩阵构建方法。矩阵中元素定义结合导波发生反射时的时间间隔信息与透射衰减时的衰减信息,对缺陷实现可视化的同时进一步量化缺陷具体参数,实现管道缺陷形状重建。 论文针对不同位置与形状缺陷对超声阵列检测回波信号影响问题,以相同换能器阵列分别对两种不同位置与形状的缺陷进行有限元仿真分析。基于有限元仿真软件分析不同位置激励与接收换能器分别激励与接收时,不同缺陷特征值与接收换能器位置对应关系,为导波数据特征值提取与层析成像矩阵构建提供依据。 论文针对管道缺陷层析成像方法验证搭建实验平台。实验结果表明:0°、30°、60°、120°和150°偏移缺陷经本文方法重建图像的结构相似度分别为83.77%、87.83%、89.67%、91.96%和93.04%,相比于未处理信号最高提高5.05%,可实现对管道中缺陷层析成像。

摘要： 解二元一次方程组的基本思路是消元,常用的方法有代入消元法和加减消元法.这两种方法都是通过先消去方程中的一个未知数将解二元一次方程组问题转化为解一元一次方程问题来求解.那么,消去哪个未知数,用什么方法消元呢?这些问题都会影响解题的速度和准确率.因此,同学们在解题中应根据方程组的特点灵活选用最恰当的消元方法,使计算过程更简捷.

关键词： 行列式   代数   应用  

摘要： 本文主要利用行列式的性质及计算方法巧妙地解决了一些较难与较繁的初等代数中的问题，如在代数领域中运用行列式进行因式分解，证明等式与不等式，解决数列等问题等领域的应用.