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关键词： 对流扩散特征值问题   局部间断有限元方法   先验误差   后验误差   自适应计算  

摘要： 对流扩散方程在许多领域都有着广泛的应用,描述了流体的流动、热传播、地下水运输、大气污染等自然现象,由于对流扩散方程在求解时一般都不能够得到精确的解,所以研究其对高效和稳定的数值解法以及其误差估计是存在一定实际应用价值的。对流扩散特征值问题的数值方法是现在许多科学技术人员的重点研究方向。一般情况下方程中的扩散项在物理过程中起着主导作用,采用标准的有限差分方法以及有限元方法进行求解就可以得到很好的数值结果,如果是对流项变成了主导位置,即对流的影响远大于扩散的影响,这会使得在数值求解过程中增加了许多的难点,如数值震荡,数值的过度扩散等问题。 局部间断有限元方法相比于传统有限元方法和有限差分法可以直接应用于非结构化网格,更好的去处理复杂几何区域,更好地控制数值耗散和数值扩散,从而提高方案的稳定性和精度。本文研究了对流扩散特征值问题的自适应局部间断有限元方法,在文中给出了先验误差估计和后验误差估计,分析了特征函数估计子的有效性和可靠性,从而进行了相应的自适应数值实验,通过数值实验结果分析可以得到该算法是有效的且有着较高的精度。

关键词： 离散混沌系统   反控制   无简并   哈希函数   伪随机数发生器  

摘要： 混沌系统具有的动力学特性与密码学中“混淆”、“扩散”机制相契合,因而在信息安全领域得到了广泛应用。然而,在工程实践中,设备精度限制会导致截断效应,使得定义在实数域的混沌系统通过数字硬件实现后演变为数字混沌,数字混沌相较于原始混沌存在特性退化,将导致系统从混沌态转化为周期态。如果数字混沌序列存在较多的短周期现象,将难以满足信息安全领域对随机性的需求,该问题长期制约着混沌技术在工程应用中的实际推广。为了解决该问题,针对不同类型的混沌系统,本文将提出三种无简并混沌的构造算法,通过增强混沌系统的复杂度,从而抑制系统的数字退化。在此基础上,对哈希(Hash)函数和伪随机数发生器(PRNG)进行改进,提升其性能和安全性。主要工作如下: (1)基于矩阵特征值的平移与缩放特性,本文将提出一种用于构建N维离散无简并混沌系统的算法。通过引入两个控制参数,对受控混沌系统的Jacobi矩阵的特征值进行平移和放大,使系统的最小Lyapunov指数的数值范围可控。 (2)基于Gerschgorin定理,本文将提出一种构建N维复数域无简并混沌系统的算法。由于矩阵特征值仅存在于盖尔圆域内,通过控制盖尔圆与单位圆在复平面内的相对位置,对系统的Lyapunov指数的取值范围进行控制。 (3)基于分块三角矩阵的特性,本文将提出一种通过矩阵迭代扩展的方式,构建N维无简并多项式混沌系统的算法。对主对角线上的二维矩阵进行配置,每次迭代时构造分块上/下三角矩阵,最终扩展出所需维度的混沌系统。 (4)为了增强并行Hash抵抗差分攻击的能力,将设计一种双向比特扩散机制对明文消息进行预处理。然后利用提出的基于双参数增益的混沌构造算法,改进基于海绵(Sponge)结构的Hash函数。将构造的无简并混沌系统作为Sponge函数,用于吸收明文消息,提高Hash函数的效率和安全性。 (5)为了改进基于混沌伪随机数发生器,受图像加密中置乱和扩散机制的启发,将设计一种高效的比特扰动算法,对无简并复数域混沌系统产生的混沌序列进行后处理。增强PRNG的安全性,同时提升其数据吞吐量。

关键词： 四元数   分裂四元数   对偶四元数   特征值问题   四元数矩阵束   分裂四元数矩阵束   实保结构算法   四元数矩阵束的同时对角化  

摘要： 四元数矩阵的右特征值问题,作为复数域特征值理论向高维非交换代数体系的自然拓展,已在多个工业与工程领域展现出广泛的应用价值.该问题不仅为三维刚体运动建模、机器人姿态协同控制以及计算机视觉中的几何计算提供了坚实的数学基础,同时也在量子系统的高维表示、大规模通信中的编码优化、群体智能的分布式算法设计以及深度学习等前沿研究方向中发挥着关键作用.四元数所特有的非交换代数结构与其强大的高维几何表征能力,持续推动着数值代数在理论发展与工程实践中的双重发展.本文采用理论分析与数值计算相结合的研究范式,在四元数矩阵代数的框架下,系统构建了若干类四元数矩阵右特征值问题的代数与数值求解方法.通过数值算例,验证了所提方法在可行性与有效性方面的良好表现,为相关领域的进一步研究与应用提供了有力支撑.全文安排如下: 第一章,主要介绍了几类四元数矩阵右特征值问题的研究背景及四元数的相关基本知识、记号. 第二章,研究了四元数矩阵束的同时对角化问题.首先,严格证明了在特定条件下,四元数Hermitian矩阵束可实现联合相似对角化与联合酉对角化,为广义四元数矩阵特征值问题的求解奠定了理论基础.随后,设计了一种适用于四元数正定矩阵的实保结构Cholesky分解算法,并在此基础上提出了新的四元数矩阵束同时对角化策略.此外,进一步发展了具有实保结构的同时对角化算法,显著提升了数值计算过程中的稳定性与计算效率.最后,将二维四元数线性判别分析(2D-QLDA)建模为一个广义四元数Hermitian矩阵的特征值问题,并将所提出的同时对角化算法成功应用于人脸识别与图像重建等实际任务中.数值实验结果表明,该方法在识别准确性与鲁棒性方面均具有优异性能,验证了其在实际应用中的可行性与有效性. 第三章,研究了四元数Hermitian矩阵主特征值及其特征向量的高效计算方法.首先,基于瑞利商结构,将四元数Hermitian矩阵主特征值问题等价转化为四元数代数上的一个极值优化问题.在此基础上,结合新近发展的广义哈密顿-实数微积分理论(GHR),提出了一种四元数Nesterov加速梯度投影算法用于求解该优化模型.随后,对所提算法进行了收敛性分析,证明了在目标函数为实可微且其梯度Lipschitz连续的前提下,存在严格的二次上界,并由此推导出算法的收敛性理论结果.最后,通过与三种主流算法的对比数值实验,结果表明所提方法在计算精度和时间效率方面均优于现有方法,表现出良好的数值稳定性与实际应用潜力. 第四章,研究了分裂四元数矩阵束的右特征值问题.首先引入分裂四元数矩阵的复伴随矩阵,进而通过求解对应的广义复特征值问题以及有效的分裂四元数向量构造,完成了对原始分裂四元数矩阵束的右特征值问题的求解.同时,针对分裂四元数矩阵束的广义右最小二乘特征值问题,给出了相应的复数求解框架.接着给出了分裂四元数矩阵束的广义标准右特征值的定义,并严格证明了任意n阶的分裂四元数正定矩阵束恰好存在n个广义标准右特征值,且这些特征值均为复数.最后,在广义内积的基础上定义了分裂四元数矩阵束的瑞利商,并研究了其基本性质. 第五章,研究了对偶四元数Hermitian矩阵的特征值问题.首先建立了一个系统的对偶表示理论框架,用于将对偶四元数矩阵同构地映射到对偶矩阵上,这一理论不仅为求解对偶四元数线性系统提供了关键求解工具,也为后续开发具备保结构特性的后验更新算法奠定了基础.在此基础上,提出了一种计算对偶四元数Hermitian矩阵特征值及其特征向量的瑞利商迭代方法(RQI).该方法利用瑞利商的极小残差性质,具有局部高阶收敛的优点.通过数值实验验证,该方法在精度和效率上均优于传统的幂迭代法,其残差误差降低了若干个数量级,充分体现了RQI算法在求解此类特征值问题中的优势. 第六章,对全文进行总结并提出仍需亟待解决的若干问题.

关键词： 外尔律   拉普拉斯算子   特征值  

摘要： 本文对特定乘积流形的外尔律余项估计改进进行研究。即在球面、实射影空间、复射影空间的例子下,能否得到余项的进一步压缩。最后,我们发现中对于球面乘积的压缩估计的方法可以推广到(?)的乘积和(?)的乘积的情形。 1911年外尔研究了特征值渐近增长速度跟体积的关系,所得结果被称为外尔律:当λ→+∞时,(?).其中N(λ)表示≤λ的上拉普拉斯算子的特征值个数(记重)。后来人们发现这种现象在各种谱问题中都出现,从而外尔律可被视为是谱几何中最重要的定理之一。上述外尔律中的余项(?)可被进一步改进成(?),但对于一般闭流形而言,该余项已经是最优。本文是一篇读书报告,主要参考Iosevich,A.和Wyman,E.的文献,研究特殊乘积流形上,外尔律余项的改进。具体而言,受环面特征值外尔律余项估计方面工作的影响,文献证明了,对于球面的乘积,其外尔律余项估计有如下改进:设M是n个球面(?)的乘积,每个球面的维数(?),并且每个球面上的度量是标准的球面度量,但可能半径不定,可以有个常数倍。则有如下外尔律余项估计:当λ→+∞时,(?).其主要方法是傅里叶分析的估计方法。我们总结了文献的工作,并进一步计算了(?)乘积的外尔律余项估计。

关键词： r正则连通图   全图   特征值   特征投影   特征支集   拉普拉斯完美对态转移  

摘要： 图的态转移问题在量子计算和量子信息处理方面具有重要意义,是图论研究中的热点问题之一。图G的转移矩阵为: 其中矩阵H,又称哈密顿量,通常取为图G的邻接矩阵AG或拉普拉斯矩阵LG。在图论中,利用矩阵的特征值来刻画图的性质是一种很重要的方法,Ackelsberg和Brehm等人在2016年给出了基于特征支集和特征投影判断一个图是否具有拉普拉斯完美态转移的充分必要条件。但对具体图类,如何具体刻画其是否具有完美态转移仍然是很复杂的问题。 人们对很多典型图类的完美态转移进行了大量研究。特别地,人们证明了任何r正则连通图的全图都没有拉普拉斯完美态转移。全图是图论中的一个重要图类。对于任意一个图G,它的全图τ（G）定义为,顶点是图G的顶点和边,并且τ（G）的两个顶点相邻当且仅当图G的相应元素相邻或关联。 以上结果关注的是两个顶点之间的完美态转移。一般来说具有完美点态转移的图是稀少的,因此近年来人们开始对图的对态转移感兴趣。本文研究了r正则连通图的全图的任意两个顶点对间的对态转移。首先考虑的是r=2,即图G是圈图的情况,利用圈图的拉普拉斯特征值和对应的特征投影,刻画全图中任意顶点对的特征支集,结合拉普拉斯完美对态转移的判定定理,证明圈图的全图不具有拉普拉斯完美对态转移。在圈图情形的基础上,我们进一步研究了任意r≥3的r正则连通图G的全图τ（G）的拉普拉斯完美对态转移。利用相同的思路,并针对顶点对的取值情况进行分类讨论,借助特征投影的刻画,证明了若τ（G）的两个顶点a,b同属于G的顶点集或同属于G的边集,则τ（G）不具有从顶点对（a,b）出发的拉普拉斯完美对态转移;若a,b分别属于G的顶点集和边集,则在某些与特征支集相关的条件下,τ（G）不具有从顶点对（a,b）出发的拉普拉斯完美对态转移。

关键词： 双调和特征值问题   间断伽辽金有限元   先验与后验误差分析   自适应算法  

摘要： 本文把带有惩罚参数的间断伽辽金有限元方法用于求解固支边界条件下的双调和特征值问题,并且提供了该方法的误差分析,包括先验误差估计和后验误差估计.我们证明了数值方法的最优收敛阶,给出了数值特征对的后验误差估计子并证明了其可靠性和有效性.通过一致网格和自适应网格上的数值实验,我们验证了数值方法的稳定性.

关键词： 双馈风机   直驱风机   多参数   特征值轨迹   次同步振荡  

摘要： 为推进“双碳”目标实现,我国风电装机规模持续扩大,双馈风机和直驱风机作为主流机型接入电网引发的次同步振荡问题日益凸显。该问题主要受风机类型、控制器参数和运行工况等多种因素的耦合影响,而这些因素与振荡模态间的复杂关联使得次同步振荡特性分析变得尤为复杂。现有研究多聚焦于单一双馈/直驱风机并网场景,缺乏对混合风电场中各类风机动态交互作用引发的新型次同步振荡模态特性分析。因此,研究双馈-直驱混合风电场次同步振荡多模态耦合特性,对于保障复杂新型电力系统的稳定运行具有重要意义。 本文首先建立了双馈-直驱混合风电场并网系统的详细次同步振荡分析模型,包括双馈风力发电机、永磁风力发电机、变流器控制系统、同步发电机组和交流串补网络输电模型,为双馈-直驱混合风电场次同步振荡特性分析奠定基础。 然后,针对双馈-直驱混合风电场中风电场与系统耦合作用引发的多模态共存现象(包括单/多风机参与的同步机轴系振荡、感应发电机效应以及多风机参与的电网L-C振荡),本文基于稀疏全局多项式逼近方法提出次同步模态特征值随参数变化关系(即特征值轨迹)的显式量化方法。该方法在保持精确度的同时,有效克服了传统局部灵敏度分析的局限性。并利用获取的特征值轨迹显式表达式分析各风机控制器系数、风机配置比、风速和串补度等多维参数对次同步振荡多模态的差异化作用机制。 最后,针对双馈-直驱混合风电场中,因参数变化引起多个次同步振荡模态的固有频率与阻尼同时趋近,并在复平面上以成对特征值轨迹重合形成重根的强模态共振现象。本文基于变量变换的多项式逼近方法,显式表征强模态耦合作用下的轨迹变化规律。该方法通过对特征值和特征向量进行变化,避免了联合特征值轨迹对在重合点处的奇异性。算例验证了该方法的准确性,进一步量化联合特征值轨迹对受关键参数变化的影响,揭示了次同步振荡强耦合作用规律。为新型电力系统中强模态共振的预测和抑制提供参考。

关键词： 复张量   对称张量   Pareto-特征值   US-特征值   定位集  

摘要： 张量的Pareto-特征值在一般标量势真空稳定性的判定和实对称张量协正性的判定中有着重要应用。张量的US-特征值在多体纯态的量子纠缠的几何测度的估计和计算中有着重要应用。这涉及到张量Pareto-特征值和US-特征值的分布问题。 本文对张量Pareto-特征值和US-特征值的分布进行了研究,获得了如下结果: 针对张量Pareto-特征值的分布问题,首先构造了张量Pareto-特征值的三个新定位集,证明了新定位集比已有定位集更精确;其次,由新定位集给出了判定张量严格协正性的准则,这些准则可用来判断一般标量势的真空稳定性;最后,通过数值算例对所得定位集和判定准则的正确性和有效性进行了验证。 针对张量US-特征值的分布问题,首先构造了复张量US-特征值的新定位集,证明了新定位集比已有定位集更精确;其次,由新定位集给出了张量US-谱半径的一个上界,并由该上界给出了多体纯态的量子纠缠的几何测度的下界;最后,通过数值算例对所得定位集和谱半径上界的正确性和有效性进行了验证。