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关键词： 符号图   p-Laplacian   特征值问题   节点域   Cheeger不等式   张量  

摘要： 图的线性特征值问题的研究主要致力于深入探究图上的线性算子(包括邻接矩阵、Laplacian矩阵及广义Laplacian矩阵等)的特征值与特征函数与图本身固有的组合特性之间的内在联系。这些线性特征值问题的研究在攻克众多公开问题中展现出了不可或缺的核心作用,已成为图论中一个广受关注的研究方向。 与图的线性特征值问题相比,图的非线性特征值问题的研究是一个新兴的方向,主要研究图的p-Laplacian等算子的特征值与特征向量的相关性质。图的非线性特征值问题与机器学习、几何群论等多个领域有着紧密而深刻的联系,是一个极具探索价值的研究方向。 本文对符号图的线性与非线性特征值问题进行了深入的研究。符号图的概念由Harary在研究社会学领域问题时引入。符号图的线性特征值理论在诸如等角线问题、敏感度猜想等重大课题研究中发挥了至关重要的作用。 在线性与非线性特征值方面,我们首先证明了关于符号图p-Laplacian变分特征值的某些函数的单调性。基于该单调性,我们引入了一列称为“截断邻接特征值”的新的图不变量。通过此不变量的研究,我们给出了符号图p-Laplacian特征值的一类新的下界估计以及一个最优的渐近估计。更进一步地,我们建立了关于图的最大独立数和最小边覆盖数的两个非线性惯性界,其中独立数的结果加强了经典的Cvetkovi(?)界。我们讨论了这列截断邻接特征值可以刻画的图类。特别地,我们证明顶点数不超过3的图被其截断邻接特征值完全刻画。 在线性与非线性特征函数方面,我们证明了符号图p-Laplacian的Courant型结点域定理,并得到了非线性特征函数强节点域个数的下界估计。这些结果把Davies、Jost、张栋、Tudisco等人的工作统一到一个框架之下。进一步地,在线性情形,我们通过重新整理Fiedler在1970年代的工作,引入了Fiedler零点的概念,进而给出了一个更精确的强节点域个数下界估计,改进了Berkolaiko、徐浩、丘成桐等人的结果。我们证明了符号图p-Laplacian的节点域形式的高阶Cheeger不等式,将符号图p-Laplacian变分特征值与Atay和刘世平引入的符号图高阶Cheeger常数联系起来。在线性情形,我们通过扰动方法和强节点域个数的下界估计,给出了一种应用圈空间维数的新型高阶Cheeger不等式。这个结果推广了Miclo等人在树上的高阶Cheeger不等式,而且我们的证明更加简短直接。若图的所有边的符号均取-1,则相应符号图的p-Laplacian即为图的signlessp-Laplacian。通过对偶弱节点域个数的上界估计,我们给出了图的signlessp-Laplacian算子的Perron–Frobenius型定理。基于此定理,我们用图的邻接矩阵特征值和特征函数刻画了其signlessp-Laplacian最大特征值和相应特征函数在趋近于无穷时的极限。作为该Perron–Frobenius型定理的另一个应用,我们证明了对二分图而言,其p-Laplacian的最大和次最大变分特征值之间不存在其他特征值。 最后,我们研究了符号图的p-Laplacian特征值问题与张量特征值问题之间的密切联系。我们观察到,在为偶数时,符号图的p-Laplacian特征值问题等价于一个张量特征值问题。在理论层面,这一发现推出了为偶数时,符号图的p-Laplacian特征值个数有限。一般情形符号图的p-Laplacian特征值个数是否有限还是公开的。在计算层面上,这一发现使得我们能够采用张量特征值或特征函数的数值计算算法,来有效地求解符号图p-Laplacian的特征值问题。在为非偶数时,我们借用张量分析的幂方法,提出了一个计算图的signlessp-Laplacian最大特征值及其特征函数的高效算法。我们讨论了此算法在禁止子图型问题上的应用。

关键词： 演化博弈   零行列式策略   复杂网络   演化动力学  

摘要： 博弈论为研究合作机制提供了分析框架,揭示了理性个体在竞争环境中通过规则设计、声誉机制和重复博弈实现合作均衡的内在机理。在博弈论的基础上研究合作机制,揭示了在竞争与冲突中如何通过规则设计、声誉积累和长期互动实现合作均衡。基于复杂网络的合作动力学研究进一步表明,拓扑结构能引导个体突破短期自利局限,促成全局优化决策。零行列式策略凭借其单边控制实现收益线性关联的独特优势,已成为演化博弈研究的前沿方向。然而,经典博弈难以刻画现实社会交互中普遍存在的复杂网络拓扑效应。本文融合复杂网络科学、演化博弈论与控制理论,构建网络化演化博弈模型,通过引入异构网络结构与自适应策略更新规则,系统揭示合作涌现的动力学规律,为复杂社会系统中的合作调控提供新范式。主要研究内容和创新点包含以下两个方面: (1)探讨了复杂网络中不同更新规则影响下零行列式策略的演化博弈动力学。基于囚徒困境与雪堆博弈,构建了适应度驱动的演化动力学方程,重点解析了无标度网络与规则二维方格网络在零行列式策略作用下的演化均衡特性。理论推导表明,在比较更新规则中,合作者表现出稳态优势;而死-生更新机制下,无标度网络中,敲诈策略表现出入侵特征。通过模型参数分析,进一步揭示了敲诈因子对合作演化的调控作用呈现规则性,为阐释复杂社会网络中合作行为的涌现机制提供了理论依据。 (2)提出了在高阶网络中不同零行列式策略之间的竞争与迭代的博弈动力学模型。基于两人迭代捐赠博弈与多人迭代公共物品博弈,分别刻画了在1-单纯形和2-单纯形网络中节点的交互过程。通过对单纯复形网络迭代博弈策略的演化进行建模与分析,结果表明,在单纯复形网络中引入敲诈和慷慨策略对网络合作的影响是不同的,敲诈对合作的促进作用比慷慨对合作的促进作用更为明显。此外,合作者与敲诈者更容易形成联盟来抵抗背叛策略,同时,慷慨行为在特定条件下对于维持和促进合作也具有重要作用。 本文中构建的模型及结论为研究个体的合作演化规律提供了重要的参考,有助于解决探讨比如蜜蜂与开花植物的协同作用、“公共池塘资源”治理模式等现实生活中的合作机制。

关键词： 空间一级倒立摆系统   拉格朗日建模   监督控制器   多元泰勒级数   变论域   平方和  

摘要： 空间倒立摆系统是一个高阶非线性且多参数相互作用的动态系统,广泛用于验证先进控制算法的稳定性与鲁棒性。与平面倒立摆相比,其特点在于摆杆可以在三维空间中自由旋转,底座通常具备两维的可动性。这一动态的动力学包含复杂的角动量,状态变量涉及摆杆角度、角速度以及底座位移和速度等。由于系统中存在显著的非线性特征,且稳态点极易受扰动失稳,稳定控制成为极具挑战的任务。传统线性控制方法在面对系统强非线性和参数不确定性时往往难以取得良好控制效果。线性控制策略通常依赖于系统在某个工作点附近的线性化模型,当系统状态偏离该工作点较远时,模型与实际系统的动态行为差异显著,导致控制性能下降。因此,有必要引入模糊最优控制器,通过构建T-S模糊模型,结合最优控制思想,有效刻画系统在不同状态下的动态行为,提升系统稳定性和鲁棒性。因此,针对空间一级倒立摆非线性系统模型,验证倒立摆上的并行分布式补偿(PDC)控制算法、变论域控制方法和平方和(SOS)算法的有效性。工作内容总结如下: 1.空间倒立摆系统模型的建立。基于空间一级倒立摆的动力学方程和结构分析并结合保守力做功规律运用Lagrange方法建立空间一级倒立摆的数学模型。 2.并行式分布补偿控制器和监督控制器的设计。针对空间一级倒立摆欠驱动、多变量的非线性系统,张量积模型变换(TPMT)和高阶奇异值分解(HOSVD)并不能直接应用于空间一级倒立摆系统控制器设计,即经典的线性矩阵不等式(LMI)是没有可行解的。本章利用多元泰勒级数的展开式,经过多元泰勒级数的展开后,系统包含了展开项和误差项,将空间一级倒立摆系统转化为具有扰动的拟线性参变(qLPV)模型多项式系统。然而,经过泰勒级数展开的误差项,我们只知道误差项的上界,即知道了误差项的范数。针对空间一级倒立摆系统设计了一种监督控制器,来有效抑制扰动。然后,比较了基于等间距采样、局部极值细化策略和Hammersley采样方法下的控制器性能。 3.变论域模糊控制器的设计。变论域模糊控制器设计方法融合了模糊逻辑控制与自适应技术,目的是提高系统的控制精度和鲁棒性。通过实时调整控制器的论域边界,优化模糊控制规则的适应性,能够有效处理系统的不确定性和外界干扰。在设计过程中,控制器根据实际情况灵活调整隶属函数和模糊规则,从而克服了传统模糊控制在处理复杂非线性系统时的局限性。该方法不仅提高了系统响应速度,还显著增强了系统的稳定性,广泛应用于自动化控制、机器人技术以及复杂动态系统的优化控制等领域。 4.空间一级倒立摆的SOS方法。本章运用多项式模糊系统建模和非线性系统的平方和方法。比现有的基于LMI的Takagi-Sugeno模糊建模和控制方法更加的普遍和高效,我们给出了基于二次李雅普诺夫函数的稳定性和稳定性的多项式形式的条件。因此,本章提出的稳定性和稳定性条件比现有的基于线性矩阵不等式的Takagi-Sugeno模糊建模控制方法更为普遍和宽松。此外,推导出的稳定性条件可以用SOS表示,并可以通过SOS工具箱进行求解。

关键词： 超低频振荡   特征值轨迹   多项式逼近   强模态共振  

摘要： 随着“双碳”目标的推进,我国新能源规模快速增长,风电与水电经直流外送系统有望成为解决新能源消纳与跨区输送的有效手段。但水轮机固有的相位滞后特性和风电的频率控制可能导致系统阻尼为负,进而引发超低频振荡问题。然而现有研究多聚焦于单一能源(水电或风电)的参数对超低频振荡的影响,缺乏风电和水电对超低频振荡的相互作用分析。因此,研究超低频振荡模态中风电、水电参数的耦合特性,对于保障新型电力系统的稳定性具有重要意义。本文主要研究工作如下: 首先,构建风、水电经直流外送系统的频率动态模型。具体包括双馈风机模型,含水电、火电机组的原动机-调速器模型以及柔性直流输电系统的VSC-HVDC模型。通过统一频率模型和阻尼转矩法分析水电机组和双馈风机产生超低频振荡的机理,得到影响超低频振荡模态的重要参数。 其次,采用全局多项式逼近法,将超低频振荡模态特征值轨迹与关键参数间的非线性关系显式表征。并从多项式中提取可用于参数灵敏度分析的Sobol指标。通过该指标筛选对超低频振荡模态影响程度高的风机参数和水机参数的耦合项。基于特征值轨迹研究耦合参数对超低频振荡模态的影响,结合阻尼转矩法揭示参数耦合关系的物理机制和动态影响。 最后,针对水电和风电主导超低频振荡模态之间可能发生强模态共振现象,提出一种基于变量变换的特征值轨迹对显式表征方法。通过对原始的特征值与特征向量进行变量变换,构造出共振问题的光滑描述模型,从而避免特征值重合点处的奇异情况,实现对超低频振荡模态特征值轨迹的准确逼近。并基于计算得到的特征值轨迹,分析共振模态的稳定性。算例仿真与数值验证结果表明,该方法能够准确捕捉特征值轨迹的突变特征,显著降低共振点附近的逼近误差,为发生强模态共振的特征值轨迹对与参数间关系提供一种量化分析手段。

关键词： 行列式小区   室外热环境   ENVI-met模拟  

摘要： 近年来随着城市化的发展,城市居民的居住环境越来越受到重视,居住小区作为城市居民生活的主要场所,其室外环境与居民的生活质量是息息相关的。小区良好的室外热环境能够增加居民在外的活动时长,提升居民的生活质量,促进居民的身心健康。在“双碳”目标视域下,小区室外热环境的改善有利于降低住宅能耗,有助于推动建筑业的绿色转型升级,维持生态可持续性,顺应“双碳”目标的发展。 本文对张家口市36个行列式小区进行调研,选择多个典型小区进行实测和问卷调查,修正张家口市室外热环境指标PET和UTCI的中性温度,对比评价UTCI和PET两个指标在张家口市室外热环境的适用性。确定住宅朝向、日照间距系数、住宅左右间距、地面铺装、住宅表皮材质、植被配置作为小区热环境的主要影响因素,运用ENVI-met模拟软件进行张家口市多层小区和高层小区的单因素模拟研究以及正交试验模拟研究。通过SPSS建立主要影响因素与平均空气温度、平均风速、平均辐射温度和平均PET的模型,并对主要影响因素进行显著性排序;采用“最小-最大-标准化”的方法将六种因素进行数值化处理,使所有因素的水平在同一种量化区间内,建立主要影响因素与小区平均PET的多元线性回归方程,具体量化六种因素的显著性,各因素显著性与方差结果一致。 根据研究结果提出张家口市小区室外热环境的优化策略,并建立典型小区模型进行优化策略的模拟验证。 本研究的主要结论有: (1)张家口市冬季中性PET温度为16.8℃,UTCI中性温度为16.3℃;夏季中性PET温度为26.1℃,UTCI中性温度为26.6℃,且PET评价张家口市室外热环境的准确性更高。 (2)多层小区夏季的住宅朝向与小区的平均风速和平均PET拟合度较高,呈现显著影响;小区冬季的住宅朝向对小区平均空气温度以及平均风速呈显著影响。高层小区夏季对日照间距系数与小区的平均PET呈现显著影响;日照间距系数在冬季对四种指标的影响都不显著。 (3)影响多层小区夏季室外平均PET的因素显著性由大到小为:植被配置>住宅朝向>地面铺装>日照间距系数>住宅左右间距>住宅表皮材质;冬季为:植被配置>地面铺装>日照间距系数>住宅表皮材质>住宅朝向>住宅左右间距;影响高层小区夏季室外平均PET的因素显著性由大到小为:植被配置>住宅表皮材质>日照间距系数>住宅朝向>地面铺装>住宅左右间距;冬季为:植被配置>地面铺装>住宅左右间距>住宅表皮材质>住宅朝向>日照间距系数。 (4)典型小区优化后模拟结果表明优化策略具有有效性,其中植被配置的影响最为显著。

关键词： 知识空间理论   知识结构   技能函数   模糊技能映射   变精度模型   矩阵运算  

摘要： 知识空间理论作为一种数学心理模型,已成为自适应评估和智能学习系统的核心理论基石.近年来,该理论与形式概念分析方法、粗糙集及项目反应理论等多个领域实现了交叉融合,并成功解决了知识结构建模、技能约简、动态评估等关键问题.构建知识结构是知识空间理论围绕上述问题研究的起点.因此,探究构建知识结构的模型是热点问题. 基于技能函数与模糊技能映射构建知识结构的变精度模型仍需深入探究,且构建过程相对繁琐.本研究基于(模糊)技能包含度理论,对(模糊)变精度模型进行了探索,讨论了各模型在知识结构构建中的相关性质,并重点研究了(模糊)变精度模型构建知识结构的相关矩阵理论及相应算法.主要研究工作概述如下: (1)提出基于(模糊)技能包含度建立的三种(模糊)变精度模型用于构建知识结构,讨论三种(模糊)变精度模型构建知识结构族的一致性;进而探讨(模糊)变精度模型构建知识结构的一些性质; (2)通过矩阵乘法计算得到技能包含度矩阵,与设置参数对比后进行变换,生成知识结构矩阵,简化变精度模型构建知识结构的过程.由于模糊技能包含度矩阵无法直接通过矩阵乘法获取,因此定义新的矩阵运算来优化模糊变精度模型知识结构的构建.此外,研究利用矩阵方法构建动态知识结构的过程.最后,基于矩阵理论,设计(模糊)变精度模型构建知识结构的算法,并选取数据集对比实验,验证算法的有效性和优越性.

关键词： 对数型Klein-Gordon算子   对数型分数阶Schr(?)dinger算子   特征值   Li-Yau下界   Kr(?)ger上界   Weyl极限  

摘要： 本文主要研究两类引入对数型算子的Dirichlet问题的特征值. 第一类算子为对数型Klein-Gordon算子（I→△）ln,其傅里叶变换为ln(1+（?）2).第二类算子是对数型分数阶Schr¨odinger算子(I+（→△）s)ln,其傅里叶变换为ln(1+（?）2s).通过对Li-Yau的方法和Kr¨oger的方法的推广,我们获得了这两类算子的Dirichlet问题的前k个特征值和的上下界,并进一步得到了它们的Weyl极限. 本文结构如下: 在第一章中,我们介绍了本文的研究背景和主要结果. 在第二章中,我们分析了对数型Klein-Gordon算子前k个特征值和的上下界以及Weyl极限. 在第三章中,我们给出了对数型分数阶Schr（?）dinger算子前k个特征值和的上下界以及Weyl极限.

关键词： 正定矩阵   高等代数   判定方法  

摘要： 正定矩阵是高等代数的重要内容之一，在高等代数教材和考研试题中占据重要的地位。因此，正定矩阵理论的研究长期获得研究者的关注。本文归纳总结出正定矩阵的若干判定方法以及每一种判定方法的适用范围，讨论了正定矩阵如何应用于解题过程。