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关键词： 期望收益   特征值   权重因子  

摘要： 为培养学生探究能力,对教科书例题“猜歌名游戏”进行一般化研究,得到了提高期望收益的排序方法.通过定义问题的特征值,将表达简化,且该特征值在诸多领域都有应用.

关键词： 电震模型   手性结构   Maxwell方程组   稳定性   先验估计   神经网络   特征值问题  

摘要： 散射现象具有广泛的现实意义和应用价值.它不仅在物理、工程等领域中发挥着重要作用,还在日常生活、医疗诊断、环境监测、军事侦探和隐形等多个方面产生了深远影响.电磁散射一直是科学研究和工程应用中的热点.随着科学技术的不断进步,电磁散射的应用范围日益广泛,几乎涵盖了现代社会的所有重要领域,如航天技术、无线通信、雷达成像、地质勘探等.特征值问题的求解在许多领域也有着广泛的应用.其不仅在结构分析、信号处理、材料科学等多个领域有着重要的应用,同时也与多种散射问题的研究有关.如在电磁波导和谐振腔中的模式分析,可用于确定传播常数和共振频率. 时域散射问题具有能够捕获宽带信号和模拟更一般的材料和非线性特性的特点,这使其具有非常高的实用价值.本文主要研究了时域电磁散射相关的问题和特征值的求解.本文的第一个部分致力于研究三维无界粗糙表面的电震转换散射问题分析.电震转化是一种利用电动现象在流体饱和多孔岩石中传播时电磁波与地震波相互作用的过程.当多孔岩石被电解质饱和时,在固体和流体的界面处会形成一层称为德拜层的双电层,即界面的一侧带负电,另一侧带正电.具体来说,电场或电磁波作用于多孔介质上,会产生流体和固体的相对运动,这种现象称为电震转换.相反,当地震波通过多孔介质传播时,会产生电磁场,这称为震电转换.该部分关注在三维无界结构中,此类电震转换问题在时域中的理论分析.通过采用精确的透明边界条件,将该问题重新表述为麦克斯韦方程组与Biot方程组的耦合初边值问题.利用拉普拉斯变换和能量法,证明了在频域中约化后的变分问题存在一个唯一的弱解.同时,获得了关于复频域的稳定性估计,以证明在时域中解的存在性.此外,直接通过时域变分问题并选取特殊的测试函数,得到了电场压力以及固体和流体位移随时间变化的先验估计,这些估计显式依赖于时间. 在本文第二部分中关注手性结构内部的电磁波平面波,证明了由覆盖在完美导体物体上的一层手性材料引起的散射问题的解的唯一性和存在性.手性是一个在许多常见材料中都涉及的几何概念,指物质所具有的通过任何实的空间旋转变换和平移变换都不能与其镜像相重合的性质.具有手性的分子称为手性分子,由手性分子构成的宏观上连续的介质则称为手性介质.此类介质是各向同性的、互易的,并且更重要的是具有圆双折射性,在天线、微波设备、波导和许多其他领域具有重要的应用.一般来说,手性介质中的电磁波传播由麦克斯韦方程和一组耦合了电场和磁场的本构方程来描述.耦合导致了介质的手性特性.手性通过手性导纳β的大小来衡量,手性导纳与介电系数ε和磁导率常数μ一起完全表征了介质的电磁特性.手性介质中的波传播由麦克斯韦方程和手性层的本构关系共同控制,对于本构关系有不同的表达式,这里使用的是Drude-Born-Fedorov本构方程.在本部分中引入了一种精确的时域透明边界条件,将散射问题约化为无限长矩形板中的初边值问题.为了证明适定性,将约化的问题分为两个子问题:一个具有齐次初始条件,另一个具有齐次边界条件.因此需要考虑两个辅助散射问题:一个是带有复数波数的时谐麦克斯韦方程,另一个是具有完美电导边界条件的时域麦克斯韦方程.基于对辅助问题的稳定性结果,证明了约化问题有唯一解.该部分的证明依赖于拉普拉斯变换、Lax-Milgram定理以及频域与时域之间的Parseval恒等式.此外,通过直接研究时域麦克斯韦方程,针对电场,建立了先验估计,这些估计具有对时间的显式依赖性,并对初始条件和源项有最低的正则性要求. 在对时域散射问题的许多研究中,都离不开对散射问题进行计算求解,在求解过程中往往应用特征值的求解.如在计算时域电磁散射问题的时域有限差分法中,许多计算与理论分析都涉及到特征值的应用.在其他许多算法中,通过研究算子的谱,可以设计出更优化的预条件算子,以捕捉并保留这些全局耦合信息,从而提高求解的精度和效率;通过利用特征谱信息,可以设计出更高效的块迭代算法,从而提高电磁散射问题的求解效率.由此对特征值的计算产生了兴趣,为了简便起见考虑从经典的Sturm-Liouville特征值的计算入手.在本文的第三部分中,设计了一种深度学习方法来求解具有变系数的Sturm-Liouville特征值问题.特征值问题在多个领域中都有着重要的应用,许多问题的求解都离不开对特征值的求解.在本研究中,提出了一种针对非均匀介质中Sturm-Liouville特征值问题寻找特征对的无监督神经网络方法.该方法将特征值作为可训练参数引入,设计了一种新颖的成本函数,采用了自适应超参数调整策略,并依次训练特征对.该方法的简洁性、准确性和可解释性极大地扩展了其在各个领域的应用范围.本文提出的方法能够轻松处理包含导数的边界值条件,从而得到正交的特征函数.这是深度学习方法的一个重要优势.同时,本部分为Sturm-Liouville特征值问题提供了

关键词： 分布势函数   耗散微分算子   边值问题   特征值   完备性定理  

摘要： 带有分布势函数的耗散微分算子的研究,源于对复杂物理系统中能量耗散和局部奇异效应进行数学描述的需求.这类算子通常出现在量子力学、流体动力学、材料科学等领域,用于刻画系统中由局部势场,如Dirac delta函数或其他分布势引起的奇异行为以及能量的衰减过程.例如,在量子力学中,粒子相互作用模型可以通过Dirac delta势函数描述;在声学或弹性力学中,局部阻尼或缺陷也可以用分布势函数建模.研究这类算子的核心问题包括其谱性质以及特征函数性质等,这些问题的解决不仅能推动微分方程、泛函分析和分布理论等数学领域关键分支的发展,也可以为实际工程问题及其它自然科学领域提供重要的理论工具.因此,带有分布势函数的耗散微分算子引起了越来越多学者的广泛关注,已然成为数学物理和应用数学中的一个重要研究方向. 针对以上情况,本文首先研究一类带有分布势函数的三阶耗散微分算子,给出了该算子的特征值与特征函数性质,并求出了相应的判别函数和Green函数.由于耗散算子是一类非自伴算子,其特征函数系通常不完备,因此进一步分析了其特征函数与相伴函数系的完备性.接着,将研究推广至一类带有分布势函数且边界条件依赖谱参数的耗散微分方程边值问题.针对这一情形,我们构建了与边值问题对应的算子,并证明了算子的耗散性、特征函数与相伴函数系的完备性等性质.值得注意的是,由于边界条件中谱参数的存在,证明方法和过程相较于之前存在显著差异.最后,基于带有分布势函数的边值问题与带有转移条件的边值问题之间的内在联系,本文还考虑一类转移条件依赖谱参数的耗散Sturm-Liouville(S-L)问题.通过引入适当的Hilbert空间和内积,将该S-L问题转化为Hilbert空间中的算子问题,并证明了其没有实的特征值.进一步,求出了该问题判别函数和Green函数的显式表达式,并综合相关结论利用Krein定理证明了该问题根直系的完备性定理.

关键词： 参数化逆特征值问题   参数化广义逆特征值问题   两步法   非精确牛顿类法  

摘要： 在本文中,我们研究了参数化逆特征值问题(PIEP)与参数化广义逆特征值问题(PGIEP)的两种数值解法.第一,受***在[5]中所提出技术的启发,我们在此提出了一种两步IA法来解决PIEP问题.与其他现有方法相比,所提出的方法通过引入新的迭代策略和优化步骤,且具有更高的收敛阶数和/或需要更少的运算量.在假设解的相对广义Jacobian矩阵非奇异的情况下,我们证明了所提出的方法具有三阶根收敛速率. 其次注意到***,***在[*** ***.44(2021),4217-4234]给出的关于参数化广义逆特征值问题的牛顿类和非精确牛顿类方法的二次收敛性证明是不正确的.我们提出了一种解决PGIEP问题的修正非精确牛顿类算法,并且给出了引理的正确证明,从而可以得到算法为超线性收敛. 最后,我们通过一系列数值实验验证了所提出方法的可行性与优越性.实验结果表明,与现有方法相比,改进后的方法在处理大规模问题时表现出更高的计算效率和更快的收敛速度.这些实验结果进一步证实了该方法在实际应用中的潜力.综上所述,本文提出的算法不仅具有理论上的创新性,还在实际应用中展现了显著的优势.

关键词： 随机博弈   网络重复博弈   零行列式策略理论   收益关系  

摘要： 博弈论作为研究决策主体在互动环境中策略选择与结果预测的重要理论工具,其核心模型在动态决策、策略优化及多方协调等领域具有广泛的应用价值。在电力系统动态调度、资源分配和网络安全等复杂系统场景中,随机博弈和网络重复博弈作为两类重要模型,分别从外部环境不确定性和网络结构复杂性两个维度,刻画了现实世界中决策主体面临有限资源时的协作挑战。其中,随机博弈中参与者的收益同时受到自身策略选择和外部随机因素的影响,而网络重复博弈中参与者的决策则与网络拓扑结构及其相邻节点的行为密切相关。这两类模型所呈现的复杂动态特性,使得长期博弈过程中的收益控制、系统稳定性维持和收益预测成为关键科学问题。本文基于零行列式策略理论,分别在随机博弈和网络重复博弈两类重要模型,研究了收益控制问题。具体包括以下内容: 首先,在随机博弈方面,通过构建特定形式的博弈环境转移向量,提出了一种基于均衡器转移规则的收益控制方法,证明了该方法能使玩家在面对外部随机性时仍保持对对手收益的有效控制,并确定了均衡器转移规则的参数可行范围,进一步地在随机演化博弈中验证了该方法的鲁棒性,表明群体平均收益可被有效控制在预设值,且这一性质不受演化参数变化的影响。 其次,在网络重复博弈方面,针对群体收益控制难题,创新性地提出了基于均衡器策略更新规则的收益控制机制。通过设计统一的策略更新协议,实现了网络中所有参与者收益的同步控制,使网络整体收益趋于固定值。研究发现,策略更新向量的结构仅取决于全背叛状态下的合作概率p0D、影响概率跨度的差异l以及比例系数φ三个自由参数,其中关键参数φ不仅影响网络收敛速度,还调节个体平均收益的分布特性。通过在典型正则网络,如环形网络、方格网络以及度为4的随机网络中进行仿真实验,验证了所设计均衡器策略更新规则在正则网络中的有效性。 研究结果表明,本文提出的方法能够有效应对随机性和网络复杂性带来的收益控制挑战,为零行列式策略理论在复杂博弈环境中的应用提供了实证支持。这些成果不仅为博弈收益优化与长期合作提供了新的理论工具,也为博弈论在动态决策与复杂系统领域的进一步发展提供了新思路,同时对电力系统调度、网络安全等实际应用中的策略设计具有重要指导意义。

关键词： 多智能体强化学习   迁移学习   特征向量  

摘要： 强化学习作为人工智能最重要的研究方向之一,能在复杂动态环境中通过学习实现自主决策。针对多智能体系统的研究,是强化学习中极具挑战的方向之一,因为在实际应用中,多智能体环境往往复杂多变,对策略的稳定性和泛化性有较高的要求。但当前多智能体强化学习算法大多面向单任务,且存在计算量大、泛化性较差等问题,因此当任务目标改变时需要从头学习策略,消耗大量计算资源。针对多任务下的多智能体策略迁移能有效解决上述问题,策略迁移到新任务上只需要短时间训练就能达到性能要求。但如何利用任务间的关系来实现策略有效迁移,以及如何解决智能体规模变化导致的维度变化等问题是其中的重点。本文针对上述问题,展开了如下研究: 首先,设计了基于自监督任务特征训练的多智能体迁移算法。算法采用针对各个源任务的单任务策略与环境交互收集的经验样本,以及自监督训练方式来学习对应任务的特征向量。之后,采用多任务强化学习框架训练源策略。最后通过监督学习方式训练目标任务的特征向量,完成策略向目标任务的迁移。通过实验结果对比,表明了该迁移算法的有效性。 但是,上述算法在训练任务特征时需要消耗较多的时间和计算资源。所以,本文在下一阶段使用了更轻量的特征向量训练算法,设计了基于任务相似度矩阵的多智能体迁移算法。首先,采用任务特征向量的内积来表示任务间的相似度,以此方式构建出当前任务集合的相似度矩阵。之后,采用单任务策略在不同的任务环境中交互的奖励值来作为任务间的目标相似度,以此构造相似度矩阵的优化目标,采用监督学习训练任务特征向量。最后,通过源任务特征的线性组合表示目标任务特征,并采用相同的方式训练组合系数。通过实验结果对比,验证了该迁移算法的有效性。

关键词： 虚拟元方法   Stokes方程特征值问题   稳定化项   Stokes方程最优控制问题   误差分析  

摘要： 本文通过应用节点连续虚拟元空间和几种局部投影算子,建立了在几乎任意多边形或多面体网格上逼近Stokes方程特征值以及最优控制问题的稳定化等阶虚拟元方法.具体内容包括: 利用对Stokes问题速度-压力选择等阶离散空间逼近具有结构简单、在科学计算领域非常实用的特点,对速度和压力的逼近采用相同的一阶节点连续虚拟元空间和相同的自由度分布,建立了对Stokes方程特征值问题的稳定化等阶虚拟元方法,该方法通过对双线性型引入与压力相关的网格依赖稳定化项,克服了该问题因选择等阶虚拟元空间不满足离散inf-sup条件而产生的非物理振荡的问题,通过对速度、压力引入适当的投影算子,给出了可仅由自由度计算的虚拟元变分公式.在Stokes源问题误差估计的基础上,利用紧算子的谱近似理论,给出了特征函数以及特征值的最优收敛阶.最后通过在几种不同多边形网格上的数值算例,例证了理论分析的正确性以及上述方法的有效性. 将上述稳定化等阶虚拟元方法框架拓展至Stokes方程最优控制问题,推导了状态方程的等阶逼近,得到了控制变量的变分离散形式,并给出了离散的一阶最优性条件,最后给出了该方法的先验误差估计.

关键词： 多项式特征值问题   拉格朗日插值   围道积分法   矩阵平衡预处理   向后误差分析  

摘要： 多项式特征值问题是一类重要的非线性特征值问题,在结构力学、振动分析和控制理论等领域具有广泛的应用.本文针对基于拉格朗日基底的多项式特征值问题(Polynomial Eigenvalue Problem,简称PEP),研究了其数值稳定性和高效求解方法.通过引入线性化方法和围道积分方法,提出了两类求解策略:第一种是将原问题转化为低维广义特征值问题,利用围道积分算法(SS-RR)提取局部特征值,进而实现降低维度并高效计算,第二种是基于拉格朗日基底PEP直接构造复平面积分子空间,通过SS-RR算法投影技术规避传统线性化的维度过大缺陷. 本文基于拉格朗日线性化单边分解关系,讨论了插值节点、拉格朗日权重和系数矩阵范数对向后误差产生的影响因素,建立了向后误差的比值上界,为改进算法数值稳定性提供了理论依据.与此同时,我们提出了基于矩阵平衡技术的预处理方法,通过单边的块对角缩放和双边的块对角缩放变换策略,显著降低了拉格朗日权重和系数矩阵范数对误差的放大效应.理论和实验分析表明,预处理后向后误差上界显著降低,向后误差比值更加接近精确值.数值实验采用NLEVP标准测试集,验证了预处理技术的有效性:处理后特征对向后误差接近机器精度量级,向后误差平均降低2个数量级,误差上界显著降低.

关键词： 海风流   存在唯一性   稳定性   特征值  

摘要： 海风流数学研究对揭示局部气象变化机制具有重要价值.本文结合特殊函数方法、不动点理论和特征值理论,系统研究了一类海风流数学模型解的存在性与稳定性. 首先,在固定传播方向与密度粘度函数下,针对不同的强迫项建立解的存在性与稳定性.基于线性形式的强迫项,构造了方程的精确解,并分别建立了解的局部渐进稳定性以及semi-Ulam-Hyers-Rassias稳定性.针对非线性形式的强迫项,利用Green函数,结合Schauder不动点、Leray-Schauder非线性抉择等定理分别建立解的唯一性与存在性判据.进一步,推广Bernstein型增长性条件,并利用拓扑横截性定理与拓扑度理论建立了方程解的存在唯一性. 其次,针对变密度粘度函数型的海风流数学模型,推导了密度粘度函数分别对应非负常数与非负二次函数时方程的精确解.进一步,基于Fredholm二择一定理,建立了变密度粘度函数型海风流数学模型解的存在唯一性及上界估计.同时,结合Taylor展开定理给出了方程解的级数展开形式并通过数值算例验证了理论结果.最后,建立了非负权函数下特征值的上界估计.