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关键词： 高中数学   三角换元   消元法   换元法   代数式   求解最值   几何意义   不等式法  

摘要： 高中数学中求解最值的问题是一个常考的内容,通常是已知一个代数式,求解另外一个代数式的最值.同学们面对这样的问题,如何又快又准地算出最值,关键在于选择的方法.求解最值常见的方法有函数求导法、消元法、换元法、不等式法、三角换元和几何意义等,并不是每道题都可以同时采用这些方法,但至少可以用一种方法来求解.本文通过介绍用这四种方法求解最值问题的例子,给同学们提供参考.

关键词： 四阶Steklov特征值问题   协调有限元   误差估计   二网格方案  

摘要： 四阶Steklov特征值问题在多个领域都有重要的应用,尤其是在需要考虑高阶微分算子和复杂边界条件的实际问题中.这些问题的解不仅涉及到数学物理的理论研究,还与实际工程应用密切相关.四阶Steklov特征值问题通常涉及复杂的几何形状、不同类型的边界条件以及非线性特性,传统的解析方法难以直接求解.在这种情况下,开发高效的数值方法来近似求解问题显得尤为重要.尤其是基于有限元法、边界元法、谱方法等数值方法,能够大大提高求解效率,使得我们能够在实际工程和物理问题中更迅速地得到有效解.Steklov特征值问题的数值解法通常需要大量的计算,特别是在高维空间中,求解高阶偏微分方程时的计算量急剧增加.对于复杂的几何形状,有限元法或边界元法等传统数值方法的计算成本也很高,因此如何设计高效的算法来减少计算量和提高求解速度是一个重要挑战.由于四阶Steklov特征值问题通常无法通过解析方法获得准确的特征值解,数值方法必须依赖离散化来求解.离散化过程中,如何合理选择网格划分、数值积分方式以及近似方式,以保证数值解的收敛性和精度,是一个重要的研究难点. 对于一些难以处理的几何形状（如不规则曲面、裂缝、孔洞等）,协调有限元法可以根据问题的不同特点在不同区域选择不同的网格划分方式,避免过度加密不重要区域的网格,从而减少计算量并提高计算效率. 本文利用协调有限元法对四阶Steklov特征值问题进行了误差分析.目前,关于该问题的数值方法处理,大多数文献都集中于凸多边形区域的误差分析,对于一般多边形区域,特别是凹角区域的误差分析,尚未有相关研究.本文的研究填补了这一空白,将误差分析及数值方法拓展到凹角区域,并提供一般多边形区域的收敛性结果.在该过程中,我们利用拉普拉斯的旋转不变性,证明了‖Δ‖0,Ω=||2,Ω,这是现有文献中没有严格证明的.本文还提出了一种移位反迭代的二网格方案,该方案将细网格?上的数值特征对计算转化为在更粗网格上的计算以及在细网格?上的线性方程计算,同时仍保持最佳收敛性.我们给出严格的证明,确定了两种方法的最优收敛阶.通过数值实验,我们还给出方形、L形以及裂缝三种不同区域下的数值算例.在不同区域上以及不同网格尺寸情况下,分别利用两种不同的方法计算出求解四阶steklov特征值问题中特征值耗费的时间,对比计算时间证明了所提出的二网格方案相比使用直接求解器求解特征值问题更高效.

关键词： 土石坝   溃决机理   多元线性回归   机器学习   XGBoost   风险预测  

摘要： 溃坝灾害作为影响流域安全和社会稳定的重大风险事件,其突发性、破坏性强,极易引发灾难性洪水,对下游区域生态环境、基础设施及人员生命安全构成严重威胁。土石坝因结构材料松散、抗冲性差,成为溃坝风险最高的大坝类型之一,占全球坝工总量的90%以上。特别是心墙坝在复杂工况下的溃决机理尚未充分厘清,传统经验预测模型也难以应对多样坝型与复杂变量,亟需机理认知与数据建模的融合突破。本研究围绕“结构机制解析—特征值预测建模—工程案例验证”主线,采用“物理试验—统计建模—机器学习”多维融合策略,系统揭示不同坝型土石坝的溃决演化机制,并建立高精度溃决参数智能预测模型。研究主要成果如下: (1)基于系列对比物理模型试验,系统揭示了不同坝型土石坝在漫顶工况下的溃决演化特征及其差异性机理。试验对象涵盖沥青混凝土心墙坝、黏土心墙坝与均质坝三种典型结构形式,试验过程中采用高速摄影捕捉溃决全过程中溃口演化与水流动力的协同变化。结果表明:①沥青心墙坝呈现出明显的多阶段演化过程,包括初始漫顶、坝壳冲刷、心墙首次折断、溃决通道形成与二次断裂等阶段,溃口扩展呈非线性增长特征,其平均横向扩展速率明显低于均质坝;②黏土心墙坝在冲刷初期表现出一定抗冲稳定性,但在心墙局部失稳时触发突变性流量释放,峰值流量滞后但更集中,结构断裂点成为溃口扩展加速的关键节点;③均质坝则以快速溯源侵蚀为主导,结构单-导致冲刷路径早期贯通、坝体迅速崩塌,溃决持续时间显著短于心墙坝。 (2)基于自主构建的全球295例溃坝案例数据库,创新性地提出了考虑坝型差异(均质坝/心墙坝)和溃决模式(漫顶/渗透破坏)的分类溃决特征值预测模型。针对传统模型中溃口以上库容(Vw)难以获取问题,首次引入水库总库容(S)替代变量并验证其适用性(r=0.98),显著提升了模型的工程可操作性。所建立的溃决洪峰流量Qp预测模型的拟合优度R2达0.92,溃口平均宽度Bave预测模型R2为0.80,两个参数的模型预测效果显著高于其他经验模型,溃决时长Tf预测模型R2仅为0.52,且分析指出溃决历时预测精度受限于未显式纳入的隐含变量(如坝体结构和抗冲指标等)。 (3)针对土石坝溃坝数据库的小样本(有效案例占比低于46.4%)、高缺失(部分参数缺失率达74.9%)问题,开发了“多重插值—异常检测—数据增强”预处理技术:采用多重插值法、孤立森林算法和生成对抗网络(GAN)相结合的策略,有效解决了数据缺失、异常值和样本不平衡问题,显著提升了数据质量。基于XGBoost算法构建的溃决特征值预测模型表现出卓越性能,在预测Qp、溃口平均宽度Bave和溃决时长Tf三项溃决特征值时,拟合优度R2均超过0.99,其预测精度显著优于传统学习模型CNN、MLP、SVM、多元线性回归、决策树及随机森林等。 (4)通过新疆射月沟水库溃坝典型案例验证了模型的工程适用性。研究重现了 2018年“7·31”暴雨事件导致超设计标准的沥青混凝土心墙坝溃坝过程,揭示溃坝的主要原因是入库洪峰流量1848 m3/s远远超过大坝设计防洪能力219 m3/s。XGBoost模型对溃决洪峰流量、溃口平均宽度和溃决时长的预测误差均小于1%,预测精度优于构建的新经验模型,实现了实际工况下溃决参数的高精度预测。 本研究首次在心墙土石坝溃决领域实现了从物理过程揭示到智能建模预测的全链条闭环研究,构建了兼具理论深度与应用广度的“机理-数据耦合”研究体系。研究成果可为土石坝结构优化、安全评价与防灾减灾体系建设提供科学支撑,具有重要的理论价值与现实意义。

关键词： 代理辅助多目标优化   进化算法   模型管理   环境选择   行列式点过程  

摘要： 多目标优化问题被广泛应用于建模现实问题,一直以来都是智能优化领域的一个重要研究方向。在多目标优化问题中,对真实目标函数的数值计算代价可能很高,降低目标函数值的计算代价一直是多目标进化算法的挑战。代理建模技术通过代理模型来替代真实目标函数值的计算,并逐步应用于多目标进化算法中,在不过多降低进化算法所求得解的质量的同时减少算法的计算代价。然而代理辅助多目标进化算法中选取用以更新代理模型的解集以及在进化过程中选取下一代种群面临着如何平衡种群/解集收敛性和多样性的问题。 本文探讨了代理辅助的多目标进化算法中平衡种群/解集收敛性和多样性的关键技术难点,提出了一种基于行列式点过程的代理辅助多目标进化算法,具体工作内容分为以下两部分: 1、提出一种基于行列式点过程的模型管理方法,用于更新代理模型。该方法首先定义了一种表征种群收敛性和多样性的核矩阵;然后基于该核矩阵设计了一个两步子集选择策略,包括选取用于真实目标函数评估的子集,以降低真实目标函数的评估成本;以及从评估过真实目标函数值的所有解中选取子集用以更新代理模型,以降低更新代理模型的计算成本。 2、提出一种基于行列式点过程的环境选择方法,用于更新种群。该方法定义了一种随种群代数自适应变化的行列式点过程子集选取方法,从当前种群和生成子代中选取子集作为下一代种群,在进化过程的前期侧重于收敛性,使种群快速收敛到帕累托前沿,在进化过程的后期侧重于多样性,缓解种群的选择压力。针对进化过程后期环境选择过于侧重于多样性,导致可能会淘汰非支配解解而选中被支配解从而降低算法性能的问题,本文提出了基于种群划分的预筛选策略。当被真实目标函数评估过的解数量达到种群规模时视为进入进化过程从前期进入后期,此后在环境选择中将被真实目标函数评估过的解作为参考向量,通过比较当前种群和生成子代中解和各参考向量的距离将其划分到距离最近的参考向量对应的子种群中,在各子种群内部借助代理模型进行非支配排序并去除被支配解,以提升算法整体性能。 实验结果表明,所提出的算法与5个代理辅助多目标进化算法相比,在MaF、DTLZ、WFG测试集上的3目标、5目标和10目标共57个测试问题中的32个上取得了最优的IGDp值,从而验证了所提出算法的有效性。

关键词： 二网格方法   齐次混合边界   间断Galerkin方法   移位反迭代  

摘要： 椭圆方程相关的混和狄利克雷和诺伊曼边界问题已被广泛研究。特别是在物理和工程中的波现象、热传递、静电学、弹性学和流体力学研究中,经常涉及具有混合狄利克雷和诺伊曼边界条件的椭圆问题。其数值方法也受到广泛关注,而基于移位反迭代的二网格方法是特征值计算的有效方法之一。这种方法可以在保持近似精度的同时节省计算时间。本文针对齐次混合边界条件的特征值问题,结合间断Galerkin方法和二网格方法,我们提出了齐次混合边界条件特征值问题的间断Galerkin方法的二网格离散化方案。我们先给出了齐次混合边界特征值问题的内部惩罚间断Galerkin方法,并对其先验误差估计进行分析,再给出了二网格方案的误差估计,并证明了当粗网格和细网格的网格大小符合某些关系时,所得到的的近似解可达到最优收敛阶。基于残差型后验误差估计,我们给出后验误差指示子,并验证后验误差指示子的可靠性和有效性。最后,我们利用后验误差指示子设计多网格自适应算法用于求解齐次混合边界条件特征值问题,通过数值实验可以得出利用我们的方法是可以保持近似精度的同时节省计算时间的。

关键词： 对偶矩阵的初等变换   高斯-约当消元法   对偶M-P广义逆   对偶群广义逆   对偶core广义逆  

摘要： 本文主要研究高斯-约当(Gauss-Jordan)消元法在偶环上的应用的研究,主要包括对偶M-P广义逆(DMPGI),对偶群广义逆(DGGI)和对偶core广义逆(DCGI)的计算.全文共分为五个部分. 第一部分,介绍对偶广义逆理论,高斯-约当消元法的发展应用及研究现状. 第二部分,介绍本文的主要研究内容,并给出基本引理和符号说明. 第三部分,我们利用对偶矩阵的初等变换,介绍了对偶矩阵的两种不同的高斯-约当消元法来计算DMPGI.然后给出了两种高斯-约当消元法的算法,并分别计算了这两种算法的运算总数.我们还比较了高斯-约当消元法与CDSVD和t QR分解法计算DMPGI的方法,并举例说明高斯-约当消元法计算DMPGI的计算优势.最后,我们使用了两个不同的高斯-约当消元法计算相容对偶方程组的通解.本研究的一个显著的理论结果是对对偶矩阵的DMPGI提供了新的认识. 第四部分,我们引入了一种新的高斯-约当消元法计算DGGI,对该方法的算法进行了总结,并得到了算法的运算总数,还证明了该算法的算术运算总数. 第五部分,我们利用对偶r-秩分解研究了对偶矩阵的高斯-约当消元法,然后介绍了计算DCGI的算法,并证明了算法的算术运算总数.需要注意的是,对偶矩阵存在对偶r-秩分解时,其DGGI和DCGI一定存在.

关键词： 图谱   规范拉普拉斯矩阵   规范代数连通度   第三小特征值   谱确定问题  

摘要： 图谱理论通过图矩阵特征值分析图的结构性质,是代数图论的核心方向之一.近年来,谱极值问题成为该领域的重点研究内容,其核心任务在于:在给定结构参数条件下,确定图矩阵特征值的极值,并刻画极图.相较于其他图矩阵,规范拉普拉斯矩阵能够有效关联图的不变量.本文主要围绕图的规范拉普拉斯矩阵的第二小与第三小特征值展开研究,并得到了一类由其规范谱所确定的图. 第一章介绍了图谱理论的研究内容和背景、本文涉及的基本概念与符号、规范谱极值问题以及谱确定问题的国内外研究进展和本文的主要研究工作. 第二章聚焦于图的规范代数连通度(即图的第二小规范拉普拉斯特征值)的极值问题.首先从拟门槛图入手,通过添加一类特定禁止子图的约束条件,证明其总是属于某个图类.基于这一结论,结合矩阵谱理论,完整刻画了规范代数连通度大于特定阈值的一般图类.此外,通过引入差分图工具,我们得到二部图规范代数连通度的更强结论. 第三章聚焦于图的规范谱确定问题.首先利用邻接矩阵正、负惯性指数与规范谱的关联,将极值图限定于某一特殊图类,并通过多项式的性质分析,确定了第三小规范拉普拉斯特征值的前「(n+5)/2」大值,并应用此结果,得到了一类由其规范谱所确定的图. 第四章对全文的研究内容进行总结,针对规范代数连通度的极值问题及规范谱确定相关内容提出了几个问题.

关键词： 有限元方法   特征值问题   拟蒙特卡洛方法   随机系数   二重网格方法  

摘要： 本文主要研究了带有随机密度函数的特征值问题,包括随机变量的截断误差、有限元误差、拟蒙特卡洛误差在内的数值估计.其成果对于结构力学、光子晶体研究和中子扩散问题具有重大意义.本文对于随机密度函数进行随机变量和空间变量分离的级数展开.通过将密度函数的级数展开截断至有限维,并采用有限元(FE)方法求解特征值问题,再通过带有随机位移的拟蒙特卡洛(QMC)方法近似积分.基于上述方法,本文证明了最小特征值和最小特征函数的数值总误差,该误差估计值取决于截断维度s,有限元网格尺寸h和选取拟蒙特卡洛的样本点数量N.最后,我们通过数值实验验证截断-有限元-拟蒙特卡洛的总误差的估计结果.此外,我们还用二重网格方法分析随机特征值问题,并证明了二重网格解的收敛阶估计.此结果对于研究多级拟蒙特卡洛的总误差分析具有重要意义.

关键词： 距离矩阵   距离Laplacian矩阵   广义距离矩阵   Ky Fan k-范数   极值图  

摘要： 图谱理论是代数图论的核心研究领域之一,其成果在化学分子结构分析、网络优化及数据科学中具有重要应用价值。本文聚焦于图的距离矩阵、距离Laplacian矩阵及广义距离矩阵前k大特征值之和的理论研究,通过应用单调离散函数介值定理的方法,突破现有研究中“图阶数n相对于k充分大”的限制条件,建立更普适的特征值求和理论框架。主要内容如下: 1.图的距离矩阵特征值和的极值图刻画:应用单调离散函数的介值定理,证明了完全图在所有简单连通图中是唯一具有最小距离矩阵前k大特征值之和的图,刻画了所有简单连通图中具有第二小特征值和的极值图,确定了所有树与给定色数图类的极小值图分别是星图与完全多部图。 2.图的距离矩阵的Ky Fan k-范数下界的研究:结合距离能量与Ky Fan k-范数的内在联系,首次证明了完全图在所有连通图中具有最小距离矩阵的Ky Fan k-范数,刻画了所有简单连通图中具有第二小距离矩阵Ky Fan k-范数的图,并确定了星图在所有树中是唯一具有最小距离矩阵Ky Fan k-范数的图。 3.图的距离Laplacian与广义距离矩阵的谱分析:将研究方法拓展至图的距离Laplacian矩阵及广义距离矩阵,首先建立了树与单圈图中最小距离Laplacian特征值和的显式表达式,随后证明了完全图在所有简单连通图中具有最小广义距离矩阵前k大特征值之和,最后确定了星图在所有树中是唯一具有最小前k大广义距离特征值之和的图。 本文创新性地通过应用介值定理统一了不同矩阵特征值求和的极值问题,深化了图谱理论的研究框架,并为分子拓扑描述符的优化提供了新的数学工具。 图[1]表[0]参[85]